热传导方程解析解

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

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第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

第三章热传导方程

一、 小结

求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题

一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题

?ut?a2uxx(t?0,0?x?l)??(I)?u(x,0)??(x) ?u(0,t)?u(l,t)?0??的级数形式解为

u(x,t)??Aken?0??(k?a2)tlsink?xl(1)

其中

Ak?2lk??(?)sin?d??0ll?(k?a2)tl(k?1,2,?)

1但由于（1）中含有指数因子：e，与弦振动方程不同，只要?(x)?C[0,l],且

?(0)??(l),形式解（1）就是问题（I）的解，且当t?0时，u?C?.

对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I）。

对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。

2．初值问题

第1 5卷第 1期2 0 1 2年 1月

高等数学研究STU D I ES I N C0 LLEGE M A T H EM A TI CS

VoI .1 5, No .1

J a n .,2 0 1 2

一

维热传导方程定解问题的两种积分变换解法金启胜(安庆职业技术学院公共基础部，安徽安庆 2 4 6 0 0 3 )

摘要利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换的一些性质求解一维热传导方程的定解问题，将两种求解方法进行比较，给出两种求解方法的区别和联系 .

关键词 F o u r i e r变换； L a p l a c e变换；热传导方程中图分类号 O1 7 5 . 2 文献标识码 A 文章编号‘ 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 2 ) O l一 0 0 7 1— 0 2

F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系

程的初值问题

统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要的作用.人们在研究这些系统时，往往从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在通常情况下，这个数学模、

[ ㈤

],

【 u (

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u q k x

?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z

?=-? 或

即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质

C-N格式MATLAB编程： clear;clc;

format short e

a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值');

M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M;

x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M

x0(ii+1)=ii*ox; end

u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n

%数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2

B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end

B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M

数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章 热传导方程(来自网络)

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数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章

列方程解应用题

练习1 从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点．已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？

练习2 甲、乙两车从A、B两地于上午8点钟同时出发，相向而行，已知甲的速度比乙快2千米/时，到上午10点钟，两车还相距36千米，又过两个小时后两车相距36千米．求A、B两地的距离与两车的速度．

练习3 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h的速度前进．突然，1号队员以45km/h的速度独自前行，行进10km/h后掉转车头，仍以45km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员从新会合，经过了多长时间？

练习4 甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？

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练习5 甲、乙二人绕学校操场和环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈，若俩人同时同向