同余法解题乐乐课堂

同余法解题

一、知识要点

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2??4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1、 同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质

（1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性）

（3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性）

（4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性）

（5）若A≡B(modM)，则An≡Bn (modM)，n为正整数，

同余法解不定方程

1.求证:方程x?2xy?5z?3?0无整数解.

证明:由x?2xy?5z?3?0得(x?y)?y?5z?3. 由于0?0 (mod5)； 0?0 (mod5)； 12?1 (mod5)； 14?1 (mod5)； 22?4 (mod5)； 24?1 (mod5)； 3?4 (mod5)； 3?1 (mod5)； 42?1 (mod5)； 44?1 (mod5).

因此,对任意的整数y都有y?5z?3?2或3 (mod5).

但,对任意的整数x,y,都有(x?y)?0或1或4 (mod5).故,原方程无整数解. 2.求证:方程x1?x2???x14?1999无整数解.

证明:由于对任意整数k,都有(2k?1)?16k(k?1)?8k(k?1)?1?1 (mod16), 对任意整数k,都有(2k)?16k?0 (mod16). 因此,对任意整数x,都有x?0或1 (mod16).

所以,对任意整数x1,x2,?,x14,都有x1?x2???x14?0,1,2,?,14 (mod16).

第六讲 消去法解题

教学课题：消去法解题 教学课时：两课时 教学目标：

1、理解消去法含义

2、熟练掌握加减消去法，代入消去法

3、以实际生活问题为主题背景及通过对另一种方法的探究对比，学生认识发现数学的乐趣，增强学习积极性。

教学重点：掌握加减消去法，代入消去法 教学难点：消去法解决实际问题。 教学准备： 教学过程：

一、导入

巨人学校买来4张办公桌和1把椅子,共用去420元。后来又买来6张办公桌和1把椅子,共用去620元。每张办公桌和每把椅子的价钱各是多少元?

二、新课学习

例1：王老师到体育用品商店为学校买球，计算一下，要买5个足球和3个篮球需要付244元；

而买2个足球和3个篮球只需付139元，请你算算，足球和篮球每个各多少元？

师：看老师教大家如何用数学用语来表示这些条件（注意篮球数量是相同的）

5个足球＋3个篮球=244元 2个足球＋3个篮球=139元

足球：（244－139）÷（5－2）=35元 篮球：（244－5×35）÷3=23元

例2：学校买回20个皮球，60根跳绳共付人民币100元，每个皮球的价钱是每根跳绳的2倍，

求每个皮球多少元？

师：能不能用方程解决呢？设什么为x呢？

生：设每根

公务员考试

行测之余数同余问题解题诀窍

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。

按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型

【例1】（江西2009）学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )

A.102 B.98 C.104 D.108

【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。

二、余数关系式和恒等式的应用

余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点：

1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除

数=除数×商＋余数。

【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？

A.12 B.41 C.67 D.71

【解析】余数是11，因此，根据余数的范围

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必

考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），

知识点拨：

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m

公务员考试

行测之余数同余问题解题诀窍

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。

按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型

【例1】（江西2009）学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )

A.102 B.98 C.104 D.108

【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。

二、余数关系式和恒等式的应用

余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点：

1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除

数=除数×商＋余数。

【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？

A.12 B.41 C.67 D.71

【解析】余数是11，因此，根据余数的范围

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

知识点、典例、练习

应用同余问题

一、基础知识

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）

性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。