复变函数复数形式及转换

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

一．复数与复变函数 ㈠选择

1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（ ） A.?3?4 B.??4 C.

?4 D.3?4 3.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.

32??argz?2? 6.复数z?1625-825i的辐角为（ ）

A． arctan1 B．-arctan12 C．π-arctan12 D．π+arctan1227.方程Rez2?1所表示的平面曲线为（ ）

A． 圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 8.复数z?-3(cos?5-isin?5)的三角表示式为（ ）

A．-3(cos45?＋isin45?) B．3(cos445?,－isin5?)

C．3(cos45?,＋isin45?) D．-3(cos45?,－isin45?)

9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数

英语学习小结：只有复数形式的名词 1) 一些成双成对的名词通常只有复数形式，常见的有jeans (牛仔裤)、headphones (耳机)、trousers (裤子)、clothes (衣服)、pants (短裤)、glasses (眼镜)、shoes (鞋子)、sunglasses (太阳镜)、scissors (剪刀)、compasses (圆规)。这些名词可单独作主语，动词用复数形式，也可用...pair/pairs of修饰，作主语时动词取决于pair的形式。

2)一些食物名词只有复数形式，常见的有noodles, vegetables, snacks。

3) 一些固定短语中的名词只有复数形式，常见有的express one's thanks to sb. (向某人表达感激之情), a letter of thanks (一封感谢信), in high/low spirits (情绪高涨/低落), have sports (进行体育活动)。

4) 一些不可数名词只有复数形式，但却表示单数概念，常见的有news (消息), means (手段)。

As we all know, no news is good news. 众

英语单词复数形式的规律 1、名词由单数变复数的基本方法如下：

①在单数名词词尾加s。如：map → maps,boy→ boys,horse→ horses, table→ tables.

②s,o,x ,sh,ch结尾的词加es.如：class→classes, box→boxes, hero→heroes, dish→dishes, bench→benches.

[注]：少数以o结尾的词,变复数时只加s。如：photo→photos, piano→pianos.

③以辅音字母加y结尾的名词,变y为i,再加es。如：family→families, city→cities, party→parties.

④以f或fe结尾的名词,变f或fe为v,再加es。如：shelf→shelves, wolf→wolves, life→lives, knife→knives.

2、不规则变化：man→men, woman→women, sheep→sheep,tooth→teeth,

fish→fish, child→children, ox→oxen, goose→geese

不可数名词一般没有复数形式,说明其数量时,要用有关计量名词。如：a bag

医学词根

词根承载着词的核心意义，如：cardiopathy(心脏病)、myocarditis心肌炎、electrocardiogram心电图; gastritis 胃炎、agastria无胃、epigastric上腹部。分为自由词根和黏着词根。自由词根度里存在具有实际意义，也可与其它成分构成新词，如：Gene—genealogy家系；homogeneity(同种性)。黏着词根有意义，但能独立存在，如：

表示：汗, hidro---hidrosadenitis汗腺炎; 关节arthro-arthroendoscopy关节内腔镜检查; cerebro--cerebrocentric大脑中枢的; audi—audibility 能听度; pneumo-pneumonia肺炎； uri-uriasis尿石病; secre-secretagogue促分泌素。

词缀却用来改变词的含义和性质，如：re-又； im-不；hetero-异；pseudo-假pseudoaquatic假水生的,生在潮湿地方的；后缀：-itis; -oma肿瘤； -phobia; -spasm痉挛； -emia血症； -tomy开刀。

医学术语中的复数形式

希腊词源

-ma-m

医学词根

词根承载着词的核心意义，如：cardiopathy(心脏病)、myocarditis心肌炎、electrocardiogram心电图; gastritis 胃炎、agastria无胃、epigastric上腹部。分为自由词根和黏着词根。自由词根度里存在具有实际意义，也可与其它成分构成新词，如：Gene—genealogy家系；homogeneity(同种性)。黏着词根有意义，但能独立存在，如：

表示：汗, hidro---hidrosadenitis汗腺炎; 关节arthro-arthroendoscopy关节内腔镜检查; cerebro--cerebrocentric大脑中枢的; audi—audibility 能听度; pneumo-pneumonia肺炎； uri-uriasis尿石病; secre-secretagogue促分泌素。

词缀却用来改变词的含义和性质，如：re-又； im-不；hetero-异；pseudo-假pseudoaquatic假水生的,生在潮湿地方的；后缀：-itis; -oma肿瘤； -phobia; -spasm痉挛； -emia血症； -tomy开刀。

医学术语中的复数形式

希腊词源

-ma-m

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 3诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

2009《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 7大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 7 总分 1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009(z??)C

（3）在映射w?z2

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g