高等代数作业7答案

数学专业学习

《高等代数选讲》作业参考答案

一．判断题

1．× 2．× 3．× 4．√ 5．√ 6．× 7．√ 8．√ 9．√ 10．×11．√12．× 二．填空题

1100 1100 3 3．0, 1, 2,…, n-1 4 ．(3, -2, 6) 5．(-3, -1) 6．1,2, ,n 1． 2． 0200 1000

7．(3,1, 2,0) 8． 5, 12,22

n

(9, 7, 1)612 9．, ,2 10．22 11．6 三．计算与证明

11

1 1．解：f(xx

1,x2,3) (x1,x2,x3) 1

0 x1 x 2

10 x3

由此矩阵的顺序主子式 0得

1或 1 0。

2．令

k1 1 ks s,有( i) 0

s

s

( ,) ( ,则有

ki i) 1

( , i) 0

ii 1

，由此可得 0

3．解：A的特征多项式为：

1

3 3

E A 3

5

3 2 2

4

6

6

4

当 =-2时，(2E-A)X=0的基础解系为： TT

1=

《高等代数专题研究》作业参考答案

高等代数专题研究作业1

一、单项选择题：1-5：BCBDB

二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、??a1?a2???(a1)??(a2)，且?是A到B的双射。 4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足：i:1?M;ii:如果a?M，则a'?M。则M含有一切自然数，即M?N。

5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对n

1、解：A??a,b?到A??a,b?的映射一共有22?4个，它们是：

??:a?a,b?a，?2:a?a,b?b，?3:a?b,b?a,?4:a?b,b?a

2、解：fg(x)?f(3x?2)?3(3x?2)?1?9x?7，

gf(x)?g(3x?1)?3(3x?1)?2?9x?5

3、解：1）在G中，1?4,4?1，并且2?6,6?5,5?2，?可表为两个不相交的轮换的乘积：

???14??265?。

2）?????????????123456??123456???????，

?????????326145??365412??123456??123456??123456???????????

326145463125156324??????3）???

高等代数第一次作业

第一章 多项式 §1—§3

一、填空题

1. 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则 。f(x)|h(x) 2. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x)，则 。f(x)|h(x) 3. 若f(x)|g(x),f(x)/|h(x)，则 。f(x)/|g(x)?h(x) 二、判断题

1. 数集?a?bi|a,b是有理数,i2??1?是数域（ ）√ 2. 数集? a?bi|a,b是整数,i2??1?是数域 （ ）×3. 若f(x)|g(x)h(x),f(x)/ |g(x),则f(x)|h(x) ( ) ×4. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）√

?6. 数集?n5. 数集a?b2|a,b是有理数?是数域 （ ）√

除法不封闭 2|n为整数?是数域 （ ）×

7. 若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )

高等代数习题 第一章 基本概念

§1.1 集合

1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设

写出 和 .

4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．

5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．

(i)(ii)(iii)(iv)

7．证明下列等式：

(i)

1

(ii)

(iii)

§1.2 映射

1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、

是不是全体实数集到自身的映射？

4．设f定义如下：

f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。令

(i)g是不是A到A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？

(iii

第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ，

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3．证明：

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1．求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2．证明：x|f(x)必要且只要x|f(x).

3．令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式，其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明：g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5．设F是一个数域，a?F.证明：x?a整除x?a.

6．考虑有理数域上多项式

f?x???x?

高 等 代 数

一、章节、

教 案

秦文钊

）授课计划 第 页

（目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

2

第 页

教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a12b2

号学 线名 姓 生订 学 装 此 过 要 级不 班 业题专 答 )班属(直点学教

四川理工学院成人高等教育

《高等代数》试卷（A卷）

年级 2013 专业 应用数学 层次 本 科

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 评阅(统分)人 题 分 50 22 28 得 分

注意事项：

1.满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将“学生姓名”和“学号”完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3.考生必须在签到表上签到，否则若出现遗漏，后果自负。

得分 评阅教师 一、填空题

每空5分，共25分。

1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型f?x??x?37??x1?1,x2?1x2??????x?的矩阵为__________________。

?1162?3．设A是实对称矩阵，则当实数t_________________,tE?A是正定矩阵。 4．正交变换在

高等代数 第1页

第六章 向量空间

引言

从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射，它们是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域．本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构．

6.1 向量空间的概念

教学目的 通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的基本表述．

教学重点 向量空间及其子空间的定义． 教学难点 对6.1定义1的理解． 教学内容

第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的基本事实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间．

6.1.1 定义公理·例子

定义1 设F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a，b，c，?表示；V是一个非空集合，V中的元素用小写希腊字母?，β，γ,?表示．如果下列条件成立：

1°在V中定义了一个加法．对于??，β?V，V中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做?与β的和，记作?+β．

2°有一个“纯量乘法”．对于F中每一个数k与V中每一个元素?，有V中唯一确定的元素与它们对应，叫做k与?的积，记作k?．

《高等代数》教案

第一章 多项式

关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根）,本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判别定理(定理13，P33),对称多项式基本定理(定理15).

1.1 设

f(x)?x3?(1?t)x2?2x?2u,g(x)?x3?tx?u的最大公因式是一个二次多

项式,求t,u的值.

详解 作辗转相除得如下关系式:

f(x)?q1(x)g(x)?r1(x),g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),

其中

q1(x)?1,r1(x)?(1?t)x2?(2?t)x?u,q2(x)?1t?2, x?1?t(1?t)2?t2?t?u(t?2)2??t?2???r2(x)???x?1?2??(1?t)2??u(注:1?t?0?). ?1?t(1?t)????为使最大公因式是二次,必须:r2(x)?0,解得u?0,t??4.

1.2 证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x),(h(x)的首项系数等于1). 略证 (f,g)|f,(f,g)|g?(f,

高 等 代 数

一、章节、

教 案

秦文钊

）授课计划 第 页

（目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a12b2