计算共形几何(理论篇)

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展

三角形三内角和

——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较

1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．

罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”

罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．

图7－11

欧氏几何 三角形的三内角和等于180 o． 罗氏几何 三角形的三内角和小于180 o；

课次：2

授课课题: 课题二 基本几何量精度

目的要求：掌握有关尺寸、偏差及配合的基本概念 掌握配合的类别，会画尺寸公差带图。 重点难点: 配合的类别及画尺寸公差带图 作业:2-2

参考资料：公差配合与技术测量 陈泽民等编著

课题二 基本几何量精度 一、 有关尺寸的定义

1、 尺寸：用特定单位表示长度的数字。如20mm，40μm 2、 基本尺寸（孔D；轴d）：设计时给定的尺寸。 3、 实际尺寸（孔Da；轴da）：通过测量所得尺寸。

注意：实际尺寸是具体零件上某一位置的尺寸的测量值。本教材实际尺寸指的是零件制成后的实际尺寸。

4、 极限尺寸（孔Dmax、孔Dmin；轴dmax、dmin）：允许尺寸变化的两个界限值，统称为极限尺寸。

注意：极限尺寸是以基本尺寸为基数来确定的，极限尺寸用于控制实际尺寸。 基本尺寸、极限尺寸为设计时给定。 二、有关尺寸偏差，公差的术语及定义

1、 尺寸偏差：某一尺寸减其基本尺寸所得的代数差称尺寸偏差简称偏差。 （1） 极限偏差：极限尺寸—基本尺寸所得代数差

孔：上偏差ES=Dmax—d

下偏差EI=Dmin—d

课次：2

授课课题: 课题二 基本几何量精度

目的要求：掌握有关尺寸、偏差及配合的基本概念 掌握配合的类别，会画尺寸公差带图。 重点难点: 配合的类别及画尺寸公差带图 作业:2-2

参考资料：公差配合与技术测量 陈泽民等编著

课题二 基本几何量精度 一、 有关尺寸的定义

1、 尺寸：用特定单位表示长度的数字。如20mm，40μm 2、 基本尺寸（孔D；轴d）：设计时给定的尺寸。 3、 实际尺寸（孔Da；轴da）：通过测量所得尺寸。

注意：实际尺寸是具体零件上某一位置的尺寸的测量值。本教材实际尺寸指的是零件制成后的实际尺寸。

4、 极限尺寸（孔Dmax、孔Dmin；轴dmax、dmin）：允许尺寸变化的两个界限值，统称为极限尺寸。

注意：极限尺寸是以基本尺寸为基数来确定的，极限尺寸用于控制实际尺寸。 基本尺寸、极限尺寸为设计时给定。 二、有关尺寸偏差，公差的术语及定义

1、 尺寸偏差：某一尺寸减其基本尺寸所得的代数差称尺寸偏差简称偏差。 （1） 极限偏差：极限尺寸—基本尺寸所得代数差

孔：上偏差ES=Dmax—d

下偏差EI=Dmin—d

《小学奥数几何专题常用方法》目录

（适合5、6年级）

第一讲：长度与角度综合 第二讲：等积变形(上) 第三讲：等积变形（下） 第四讲：复合图形的分拆 第五讲：复合图形的分 第六讲：格点与割补 第七讲：共边模型

第八讲：共角模型之鸟头定理 第九讲：共角模型 第十讲：蝴蝶模型（上） 第十一讲：蝴蝶模型（下） 第十二讲：新概念几何（上） 第十三周：新概念几何（下） 第十四讲：几何图形的认知 第十五讲：长度与角度的计算 第十六讲：巧求周长 第十七讲：曲线型面积进阶 第十八讲：曲线型面积 第十九讲：三角形的认识 第二十讲：三角形的认知技巧提高 第二十一讲：四边形中的基本图形（上） 第二十二讲：四边形中的基本图形（下） 第二十三讲：弦 图（上） 第二十四讲：弦 图（下）

1

第一讲：长度与角度综合

2

例1

(第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试)

直线AB、CD相交，若∠1、 ∠2和∠3的关系如图所示。则∠3－∠1＝______ 。

例2

如图ABCDJ为正五边形，DEFGHJ为正六边形，试求∠AJH的度数。

例3

海海家有一个花坛，如图。海海从A点出发，逆时针绕花坛一周回到A点，那么海海在行走过程中共转了多少度？

3

例4

如图，正五边

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.

这

第九编 解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则?的范围为 . 答案 0°＜?＜135°

2.（20082全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 答案 1

4.已知直线l的倾斜角为?，且0°≤?＜135°，则直线l的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）

5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-2323基础自测

的直线垂直，则实数a的值为 .

答案 -

例1 若?∈?,?，则直线2xcos?+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .

?62?答案 ??5??,???6?????

例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.

解

第九编 解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为，则?的范围为 . ?+45°

答案 0°＜?＜135°

2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 答案 1

4.已知直线l的倾斜角为?，且0°≤?＜135°，则直线l的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）

5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-答案 -

基础自测

2的直线垂直，则实数a的值为 . 32 3????例1 若?∈?,?，则直线2xcos?+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .

?62??5??答案 ?,??

?6?例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.

解

Hypermesh总结－几何清理篇

1、geometry clean中出现的黄色边界线表示什么意思？ 表示共享边，三个或者三个以上的面共同的边界 2、HM中有什么工具可以补面的？

edit surface->surface filler 除了edit surface->surface filler外，还可以用spline,drag,sweep等命令补面，只要选surface only选项就可以了． 3、划好2d网格之后，用tool->edges->tolerance=0.01->equivalence->find edges, 最后发现220个free surfaces,我记得有一个快捷键保存这些自由面到内存中，然后可以删除刚刚保存的面，大侠，帮忙

用你的操作发现的是free edges，它会自动保存在一个叫做^edges的component里，然后隐藏掉其他的部分，再点击右侧 QA-->Find Attached 找到相邻单元,再进行处理。

4、出现黄线怎么几何清除？

GEOM CLEAN—SURFACE—FIND DUPLICATES试试

出现黄线大多是有重合面出现，结合隐藏（F5）仔细观察一下，找到重合的面（有的及其