最短路径八年级作图

最短路径问题作图练习

1.已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

2.已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

3. 如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

.A . B 作法：

4. 如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

作法：

CM

AB N O

5. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，

AP+PQ+QB的长最短？

作业：

6.．．

.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图1，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小； 作法：

图1

（2）如图2，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大； 作法：

图2

1

最短路径问题

练习

一．选择题（共4小题）

1．（2016秋房山区期末）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点

M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

2．（2015秋通州区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=6，CD 是△ABC 的一条高线．若E ，F 分别是CD 和BC 上的动点，则BE+EF 的最小值是（ ）

A ．6

B ．3

C ．3

D ．3

3．（2014秋昌平区期末）如图，等边△ABC 的边长为6，E 是AC 边上一点，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的动点．若AE=2，则EP+CP 的最小值为（ ）

A．2 B．C．4 D．

4．（2011秋东城区期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

二．填空题（共5小题）

5．（2016秋门头沟期末）如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分

教师姓名

卢霞单位名

称

玉林市玉州区

第八初级中学

填写时间2020.8.23

学科

数学年级/册

八年级上册

教材版本人教版

课题名称13.4 最短路径问题——将军饮马

难点名称探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理

难点分析从知识角度分析

为什么难

实际问题抽象成数学问题解决，需要利用作图及数学的知识一起

来解决

从学生角度分析

为什么难

作图属于动手操，这方面较差，也需要一定的知识基础

难点教学方

法老师实际操作一遍，用PPT演示一遍，并详细讲解证明过程，归纳总结方法后用实际操作巩固。

教学环节教学过程

导入1、用视频插入的形式，借用李颀《古从军行》前两句诗：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍

交河”引出本节课的课题。

2、复习与本节课息息相关的知识点：线段公理——两点之间线段最短

垂线段性质——垂线段最短

知识讲解（难点突破）

“将军饮马”问题（一）

将军从锋火台出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军

营．请问将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程

最短？

1、先利用作图，解决以下问题：

（1）将河流抽象为一条直线l ．将烽火台和军营分别抽象成A、

B 两个点。

设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?

（

2）如果点A与点B在直线l

13.4最短路径问题设计

课 题 13.4最短路径问题授课年级八年级学 科数学课时安排1授课日期

授课教师袁小芳备课日期备课组长

教 学 目 标

知识与技能：能够用轴对称的知识解决最短途的数学问题．

过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．

情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神．

教 学 背 景 分 析

教学重点利用轴对称的知识解决在一条直线同侧的两个点距离之和最短的问题

教学难点利用轴对称的知识解决较为复杂的最短途问题

学情分析学生已经学习了如何画一个图形关于某条直线对称的图形，并且具备了如下的知识基础：两点之间线段最短、三角形三边关系等知识，再准备好圆规、直尺，就可以进行本节课关于最短距离的探究了。利用三边关系验证最短距离是本节课的难点。

教学方法启发式

教具学具尺子、学案

辅助媒体无

教学结构（思路）设计

【活动一】讲授启发：教师给学生创设一个课题，情境必须与实际经验相联系，使学生产生要了解它的兴趣；

【活动二】任务导向、合作探究：

给学生足够的资料，使学生进一步观察、分析，研究该课题的性质和问题所在；学生自己提出解决问题的设想，或暂提出一些尝试性的不同的解答方案。学生自己根据设想，进行推理，以求得解决问题的方案；进

HUNAN UNIVERSITY

课程实习报告

题 目： 最短路径问题 学生姓名 学生学号 20110801328 专业班级 计算机科学与技术（3）班 完 成 日 期 2013.5.29

一、 需 求 分 析：

1.若用有向网表示某地区的公路交通网，其中顶点表示该地区的

一些主要场所，弧表示已有的公交线路，弧上的权表示票价。试设计

一个交通咨询系统，指导乘客以最少花费从该地区中的某一场所到达

另一场所。

2.本程序要求：

（1）从文件中读取有限网中顶点的数量和顶点间票价的矩阵。

（2）以用户指定的起点和终点，输出从起点到终点的花费。

3.在dos系统下输入起点，并输出最短路径。

4.测试数据：

输入

（文件）

5 －1 10 3 20 －1

－1 －1 －1 5 －1

－1 2 －1 －1 15

－1 －1 －1 －1 11

－1 －1 －1 －1 －1

（用户）

起点 0

终点 4

输出

18

图论最短路径问题 在消防选址中的应用

【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路

安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。

【关键词】 最短路径；Floyd算法；消防

1 引言

图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念

2.1 图的定义

有序三元组G?(V,E,?)称为一个图，其中：

(1)V?(V1,V2,?,Vn)是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E称为边集，其元素叫做图的边；

(3)?是从边集E

10.2 最短路径与选址问题

第2节 最短路径与选址问题

最短路径问题

选址问题

10.2 最短路径与选址问题

对于许多地理问题，当它们被抽 象为图论意义下的网络图时，问题的核 心就变成了网络图上的优化计算问题。 其中，最为常见的是关于路径和顶点的 优选计算问题。 在路径的优选计算问题中，最常见 的是最短路径问题；而在顶点的优选计 算问题中，最为常见的是中心点和中位 点选址问题。

10.2 最短路径与选址问题

一、最短路径问题(一)最短路径的含义

“纯距离”意义上的最短路径 例如，需要运送一批物资从一个城市到另 一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？ “经济距离”意义上的最短路径 例如，某公司在10大港口C1,C2,…, C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格， 是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直 接通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？

10.2 最短路径与选址问题

“时间”意义上的最短路径 例如，某家经营公司有一批货物急需从一个 城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、 河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线 路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路 线最节省时间？ 以上3类问题，都可以抽

【新编】初中数学人教版八年级上13.4 课题学习 最短路径问题教案版本2-参考下载

高中小精品教案试卷

13.4.最短路径问题

一、内容和内容解析

1．内容

利用轴对称、平移研究某些最短路径问题

2．内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”

“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

二、目标和目标解析

1.目标：

（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，

（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题

【学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径 最短的问题。 【学习重、难点】 重难点：能利用轴对称和平移的知识 解决路径最短的问题。

【预习导学】1、自学1:自学课本P85-86页“问题1”,掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和最短的问题，完成下列填空。10分钟

①点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上打到一个点，使得这个点到 点A、点B的距离的和最短。 解：连接AB交直线l于点P,则根据“两点之间， 线段最短”,可得AP+BP最短。则点P即为所求。 ②如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人 到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 分析：如果我们能把点B移到l的另一侧B’处，同时对直线l上的任一点C,都保持A P l B

CB=CB’,就把问题转化为第①题的情况了。如果直线l上的任一点到B、B’的距离都相 等，则说明直线l是线段BB’的 垂直平分线 ，则点B与点B’关于直线l对称。

解：作点B关于直线l的对称点B’,连接点A、B’交直线l于点 P, 则根据“两点之间，线段最短”,可得AP+BP最短。 理由如下：在直线l上取任意一点P’(不与点P重合),连 接A

求最短路径的新算法

　CN4321258/TP　ISSN10072130X

　　　　计算机工程与科学

COMPUTERENGINEERING&SCIENCE

2006年第28卷第2期　

　Vol128,No12,2006　

文章编号:10072130X(2006)0220083203

求最短路径的新算法

3

TheNewAlgorithmforFindingtheShortestPaths

徐凤生

XUFeng2sheng

(德州学院计算机系,山东(DepartmentofComputerScienceandTechnology摘　要:,并用。实验表明,该算法能高效Abstract:Anewtheshortestpathshasbeenputforwardinthispaper.Alltheshortestpathsfromonenodetoalltheothernodescanbederivedquicklybyusingthealgorithm.ThealgorithmisverifiedandimplementedbyarelevantCprogram.

关键词:最短路径;Dijkstra算法;邻接矩阵

Keywords:shortestpath;Dijk