场论基础和矢量分析

： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： 班级（学生填写） - ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- - -- （答题不能超出密封线）

阅卷人 得 分 题 号

1．通量

一 3．标量的梯度

2．矢量的旋度

二 三 四 五 六 七 八 九 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分）

总 分

4、保守场

2011～2012学年第 一 学期 矢量分析与场论 科目考查试题A卷

使用班级（老师填写）：电子10-1,2班 考务电话：2923688 第 1 页 （共 页）

二、计算题（每小题10分，共70分）

1、数量场 u?x2y

电磁场题解

第一章 矢量分析与场论基础

1-1 求下列温度场的等温线

11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C

x

1-2 求下列标量场的等值面

11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)

ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k

2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?

⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2

., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。

??解 根据矢量线的定义，可得

解 根据矢量线的定义，可得

dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?

电磁场题解

第一章 矢量分析与场论基础

1-1 求下列温度场的等温线

11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C

x

1-2 求下列标量场的等值面

11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)

ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k

2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?

⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2

., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。

??解 根据矢量线的定义，可得

解 根据矢量线的定义，可得

dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?

电磁场题解

第一章 矢量分析与场论基础

1-1 求下列温度场的等温线

11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C

x

1-2 求下列标量场的等值面

11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)

ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k

2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?

⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2

., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。

??解 根据矢量线的定义，可得

解 根据矢量线的定义，可得

dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?

第一章 矢量分析与场论基础

内容提要

1） 正交曲线坐标系：

设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：

q1 q1(x,y,z) q2 q2(x,y,z) q3 q3(x,y,z)

在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为

dli hidqi

ihidqi dli q

ihjhkdqjdqk dsi dlj dlk q

dv dli dlj dlk hihjhkdqidqjdqk

i q j q k 1， i q j q k，q式中i、j、k代表循环量1、2、3，q

x

hi q

i y z q q 称拉梅系数。 i i

222

三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：

cos e e sin z e 0

sin

cos 0

x 0 e e y 0 z 1 e

柱坐标与直角坐标

sin e

cos e e 0

0cos e e 0sin z 10 e

球坐标与柱坐标

sin cos e

cos cos e e sin

2） 矢量及其运算：

直角坐标中算符 的定义：

sin s

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 x acost,y bsint 2

x 3sint,y 4sint,z 3cost

解： 1 r acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

2 r 3sinti 4sintj 3costk，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面

2

x2 z2 3之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M

所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为OM r xi yj， AOC ，CM与x轴的夹角为

2 ；因OM OC CM有

r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 i asin 2 j

则

x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 .

故r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j

2

4．求曲线x t,y t,z

23

t的一个切向单位矢量 。 3

2

解：曲线的矢量方程为r ti tj

23

tk 3

dr2

i 2tj 2tk 则其切向矢量为dt

模为|

dr

| 4t2 4t4 1 2t2 dt

drdri 2tj 2t2k

/|| 于是切向单位矢量为dtdt

第一章 矢量分析 1.1 标量 具有大小特征的量称为标量 1.2 矢量 A, A 1.2.1 矢量的表示 习惯上用黑体符号或在符号上加单向箭头表 示矢量，如矢量 A可记为 A 或是A。大小(又称 为模值)为1的矢量称为单位矢量，他没有量刚。 矢量的单位矢量用 ea表示，即 A ea A. 在直角坐标系中，矢量 A 可表示为A ex Ax ey Ay ez Az2014-6-20

(1.1)

第一章 矢量分析 矢量的模值为A Ax 2 Ay 2 Az 2

矢量 A 单位矢量 ea为ea A A ex Ax A ey Ay A ez Az A

A ex Ax ey Ay ez Az

ex cos ey cos ez cos (1.2)

Az

zA

Ay

x2014-6-20

Ax

y

图1.1 直角坐标系下的矢量

A

2014-6-20

2014-6-20

第一章 矢量分析 1.2.2 矢量的代数运算 1 矢量加法 设矢量 B ex Bx ey By ez Bz ,则 A B为A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az

1 矢量分析

1.在球面坐标系中，当?与?无关时，拉普拉斯方程的通解为：（ ）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（ ），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场 在闭合面 的通量定义为 ，它是一个标量；矢量场的

（ ）也是一个标量，定义为 。

4. 矢量场 在闭合路径 的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋

度是一个（ ），它定义为 。

5.标量场u（r）中，（ ）的定义为 ，

其中n为 变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有 任一标量的梯度的旋度恒为（ ）。

。

任一矢量的旋度的散度恒为（ ）

7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，是个（ ），而

是个（ ），

是个（ ）。

，所以

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（ ）方程和（ ）方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. （ ）坐标、（ ）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（ ）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11.

1 矢量分析

1.在球面坐标系中，当?与?无关时，拉普拉斯方程的通解为：（ ）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（ ），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场 在闭合面 的通量定义为 ，它是一个标量；矢量场的

（ ）也是一个标量，定义为 。

4. 矢量场 在闭合路径 的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋

度是一个（ ），它定义为 。

5.标量场u（r）中，（ ）的定义为 ，

其中n为 变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有 任一标量的梯度的旋度恒为（ ）。

。

任一矢量的旋度的散度恒为（ ）

7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，是个（ ），而

是个（ ），

是个（ ）。

，所以

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（ ）方程和（ ）方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. （ ）坐标、（ ）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（ ）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11.

第一章 矢量分析 1.1 标量 具有大小特征的量称为标量 1.2 矢量 A, A 1.2.1 矢量的表示 习惯上用黑体符号或在符号上加单向箭头表 示矢量，如矢量 A可记为 A 或是A。大小(又称 为模值)为1的矢量称为单位矢量，他没有量刚。 矢量的单位矢量用 ea表示，即 A ea A. 在直角坐标系中，矢量 A 可表示为A ex Ax ey Ay ez Az2014-6-20

(1.1)

第一章 矢量分析 矢量的模值为A Ax 2 Ay 2 Az 2

矢量 A 单位矢量 ea为ea A A ex Ax A ey Ay A ez Az A

A ex Ax ey Ay ez Az

ex cos ey cos ez cos (1.2)

Az

zA

Ay

x2014-6-20

Ax

y

图1.1 直角坐标系下的矢量

A

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2014-6-20

第一章 矢量分析 1.2.2 矢量的代数运算 1 矢量加法 设矢量 B ex Bx ey By ez Bz ,则 A B为A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az