勾股定理知识点总结思维导图

《勾股定理分类练习》

题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a2 +b2 =c2

变形公式：

1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是

C D B A 7cm

2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 3、在Rt△ABC中,斜边AB2 =3,则AB2+BC2+AC2的值是______ “知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！

4、在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长

5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25

B．14

C．7

D．7或25

题型二：应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数） 1、已知直角三角

初中数学

勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90

，则c

b

，a

2

2

2

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c<a+b，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为

物理原子物理知识点总结思维导图

【篇一：物理原子物理知识点总结思维导图】

九年物理知识归纳总结 第十一章 多彩的物质世界 一、宇宙和微观世界

宇宙→银河系→太阳系→地球

物质由分子组成；分子是保持物质原来性质的一种粒子；一般大小只有百亿分之几米(0.3-0.4nm). 物质三态的性质：

固体：分子排列紧密,粒子间有强大的作用力.固体有一定的形状和体积.

液体：分子没有固定的位置,运动比较自由,粒子间的作用力比固体的小；液体没有确定的形状,具有流动性.

气体：分子极度散乱,间距很大,并以高速向四面八方运动,粒子间作用力微弱,易被压缩,气体具有流动性.

分子由原子组成,原子由原子核和（核外）电子组成（和太阳系相似）,原子核由质子和中子组成.

纳米科技：（1nm=10 m）,纳米尺度:（0.1-100nm）.研究的对象是一小堆分子或单个的原子、分子. 二、质量

质量：物体含有物质的多少.质量是物体本身的一种属性,它的大小与形状、状态、位置、温度等无关.物理量符号：m. 单位：kg、t、g、mg.

1t=103kg, 1kg=103g, 1g=103mg. 天平：

1、原理：杠杆原理.

2、注意事项：被测物体不要超过天平的称量；向盘中加减砝码要用镊子,

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勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点：

1：勾股定理: 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性

勾股定理

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

2

D

E

b

A

c

BC

方法二：

ba

c

a

b

b

c

cb

a

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c2

2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 所以a2 b2 c2

111

方法三：S梯形

勾股定理全章知识点总结和典型例习题分析 一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 D

H 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

E

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定

cA

理

常见方法如下： ba方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

12

a

c

C

B

b

b

cb

a

a

Aa

1

S 4 ab c2 2ab c2，大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab

b22

Db

全等三角形、勾股定理教案

②对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；

同步训练：

1、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，E 为AC 边上的点，BE=DE.试判断：

⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，则△ABD ≌＿＿＿，△ABC 是＿＿＿三角形。

3、如图2，若AB ＝DE ，BE ＝CF ，要证△ABF ≌△DEC ，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E 、F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有＿＿＿对全等三角形，它们分别是＿＿＿＿＿。

A B C D 1 A D B

C E F 图3 A B C

D O 图4 A D B C

E

F 图5 A D B E F C 2

5、如图4，四边形ABCD 的对角线相交于O 点，且有AB ∥DC ，AD ∥BC ，则图中有＿＿＿对全等三角形。

6、如图5，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E 、F 在DB 上两点且B

黄州西湖中学 课题：勾股定理的逆定理(2)学习目标： 勾股定理逆定理的实际应用 学习重点： 勾股定理逆定理的应用 学习难点： 勾股定理逆定理的计算 学习过程： 一、课前预习 1、忆一忆 ⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述 吗？ 命题一：_____________________________________ 命题二：_____________________________________ ⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？

数学 学科导学案活页 授课教师：祝向奎三、合作探究：

年级

八

班级

学生

时间

学科组长：

教研组长：

5.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角 形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 问题 2:有一块菜地形状如下，试求它的面积。 售价 a 元，则购买这种 温馨提示： 草皮至少需要( ). ①结合题目的数据的图形特征你能想到哪些结论？ A、450a B、225a 元 ②不规则图形的面积可以转化成规则图形的面积的和或 C、150a 元 D、300a 元 B 6. 已知在△ ABC 中， 差本题应如何转化？

12 C 3┗ 4 D四、分层训练 1、三角形的三边长 a,b,c 满足(a+b) 2 =c 2

黄州西湖中学 课题：勾股定理的逆定理(2)学习目标： 勾股定理逆定理的实际应用 学习重点： 勾股定理逆定理的应用 学习难点： 勾股定理逆定理的计算 学习过程： 一、课前预习 1、忆一忆 ⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述 吗？ 命题一：_____________________________________ 命题二：_____________________________________ ⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？

数学 学科导学案活页 授课教师：祝向奎三、合作探究：

年级

八

班级

学生

时间

学科组长：

教研组长：

5.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角 形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 问题 2:有一块菜地形状如下，试求它的面积。 售价 a 元，则购买这种 温馨提示： 草皮至少需要( ). ①结合题目的数据的图形特征你能想到哪些结论？ A、450a B、225a 元 ②不规则图形的面积可以转化成规则图形的面积的和或 C、150a 元 D、300a 元 B 6. 已知在△ ABC 中， 差本题应如何转化？

12 C 3┗ 4 D四、分层训练 1、三角形的三边长 a,b,c 满足(a+b) 2 =c 2

正弦定理和余弦定理

一、正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c22bccosA； 内容 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R b2＝c2＋a22cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；变形 a＋b＋cabc(4)＝＝＝； sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 二、对三角形解的个数的探究 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．

第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．

法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三