小学奥数几何六大模型及例题

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边

小学奥数几何计数

一、知识点

（1）分类：数图形、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。 （2）方法：①基本图形法（一个基本图形、二个基本图形、三个基本图形。。。）

②标号计数法 ③公式法

注：基本图形法与标号计数法均为列举法。 （3）特殊：长方形个数=长边总线段数×宽边总线段数

正方形个数=a×b+（a-1）×（b-1）+（a-2）×（a-2）+…. 注：总线段数、a与b表示的是基本图形数

二、基础题

1、数出右图中总共有多少个角

2、下列图形各有几条线段

3、数一数图中长方形的个数

4、数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

5、数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正

方形）

6、数一数图中三角形的个数

三、巩固题

1、共有多少个三角形？

2、数一数图中三角形的个数

3、下图共有几个正方形?

4、右图的图形中一共有多少个三角形?

5、一条直线上共有50个点,可以数出(

几何计数

知识框架图 7 计数综合

7-8 几何计数

教学目标

1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．

本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．

知识要点

一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成

2?2?3?……?n?12(n?n?2)个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类

数线段：如果一

金钥匙小学六年级奥数复习资料

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbB?S△BCD；

CD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

“知行”辅导 知识改变命运，行动成就人生

几何图形综合

1．如图，四边形ABCD是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘

米)，且△ADE，四边形DEBF，△CDF的面积相等． D A 阴影△DEF的面积是多少平方厘米？ E C F B 2．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？

A E D

F

B C

3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？

4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和4厘米，结果面积减少了46平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？

5．如图，在△ABC中，AD的长度是AB的四分之三，AE的长度是 A AC的三分之二.请问：△ADE的面积是△ABC面积的几分之几？

D E

B C

A6．如

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S1 : S2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的

313?? 5420

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S1∶S3 =a2∶b2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）2

定理4：相似三

小学几何面积问题一

姓名

引理：如图1在 ABCD中。P是AD上一点，连接PB,PC则S△PBC=S△ABP+S△pcD=

P

A D （适应长方形、正方形）

A P D A

P D

1S ABCD 2 B

图1

C B C B

C

1．已知：四边形ABCD为平行四边形，图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几？

P M

A D

B N C

2. 已知： ABCD的面积为18，E是PC的中点，求图中的阴影部份面积 A P B E

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

AB①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； SS两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

abCD如右图S1:S2?a:b

12③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，如图在△ABC中，E在

AC上)，

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEDC

奥数精品

第06讲 几何问题第03讲

直线形计算

【内容概述】 涉及长方形、正方形、三角形、平形四边形和梯形的边长、周长与面积的计算问题．求多个图形覆盖总面积时宜分块处理．考察三角形面积时，需要选择恰当的高，并应注意三角形与等底等高平行四边形之间的关系． 【典型问题】

1．图6—1由16个同样大小的正方形组成．如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米?

图6—1 图6—2

2．若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图6—2所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米?

3．一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积．

4.如图6—3，正方形客厅边长12米，若正中铺一块正方形纯毛地毯，外围铺化纤地毯，共需费用22455元．已知纯毛地毯每平方米250元，化纤地毯每平方米35元，问铺在外围的 化纤毯的宽度是多少分米?

5.如图6—4，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘

米，BC的长是3厘米．那么图中阴影部分的面