幂等矩阵的性质及证明

JIU JIANG UNIVERSITY

毕 业 论 文 （设 计）

题 目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix

院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民

二零零八年 五月

摘 要

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

I

Abstract

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

------------幂零矩阵的性质及应用

目录

幂零矩阵的概念 幂零矩阵的性质 特殊的幂零矩阵 幂零矩阵的应用

------------幂零矩阵的性质及应用定义一

定义二

------------幂零矩阵的性质及应用

------------幂零矩阵的性质及应用

特殊的幂零矩阵 1、A为实对称矩阵且 A2 0 阵都是相似. 3、所有 n阶n-1次幂零矩阵相似(n-1为幂 零指数). ,则有 A=0.

2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩

------------幂零矩阵的性质及应用

利用幂零矩阵的性质来简化矩阵求逆的计算

1. 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆. 若矩阵A可表示为幂零 矩阵与单位矩阵的和，则可借用二项式展 开定理，将矩阵A的逆转 化为单位矩阵与幂零矩阵的乘幂. 2. 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆. 对于主对角线元素完 全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和 3. 可表示为若当矩阵的幂的和的矩阵的逆

------------幂零矩阵的性质及应用一个例子

------------幂零矩阵的性质及应用幂零矩阵其他重要的应用1、对于n维线性空间v,必存在 的一组基使得由v的幂零线性变换生成的 幂零代数N中任意元素在该基

教育教学

两个幂等矩阵的几个问题

盛夏

（杭州师范大学钱江学院，浙江杭州

310000）

［摘要］在两个幂等矩阵中，由于求解矩阵的初等因子的方法较为繁杂，因而判断两个同阶方阵是否相似就成为了线性代数中的困难问题

之一。［关键词］幂等矩阵；可逆性；问题数域上n阶方阵的等价和相似分类，是线性代数的主要问题之一。通常情形下的结论也是我们熟知的：对任意两个同阶方阵A，B，A与B等价当且仅当A，B有相同的秩，并且任意n阶方阵A都等价于标准形Λ

I

r

n×n其中r是A的秩，Ir

是r阶单位阵；复域上任意两个同阶方阵A，B相似当且仅当A，B有相同的初等因子；且复域上任意n阶方阵A一般不相似于对角阵，而是相似于一个约当标准型。由于求解矩阵的初等因子的方法较为繁杂，因而判断两个同阶方阵是否相似就成为了线性代数中的困难问题之一。但对某一些特殊类型的矩阵，却也有熟知的简单结论。比如，实域上的对称矩阵一定相似于对角阵；两个实对称矩阵相似当且仅当它们有相同的特征值。在本文的第二节我们将要讨论的幂等阵则是等价标准型与相似标准型一致的一类特殊矩阵。众所周知，可逆幂等阵的逆仍为幂等阵；幂等阵的转置仍为幂等

阵；两个同阶幂等阵的和、差、积是否仍是幂等阵?但两个两个同阶幂等阵的和

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

摘 要

在高等数学研究中，矩阵不仅是研究问题的一种重要工具而且在实际生活中具有广泛的应用,幂零矩阵是矩阵中满足Ak?0的一类比较特殊的矩阵，所以幂零矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，同时在实际应用方面也具有特殊的意义。幂零矩阵具有很多很好的性质，本文归纳总结18条性质，共用到定理或引理14条，系统说明这些性质并给出相应的证明；如在求特殊矩阵的逆以及在若尔当标准型的计数方面等，本文深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析、论证这些性质。同时本文幂零矩阵自身具有的一些特殊性质给出了论证，并举例加以说明。

本文同时探讨了2个矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的方便化与简单化，体现了幂零矩阵的实用性以及研究的必要行；同时探讨了数域K上n阶矩阵与幂零矩阵简单的联系，比如可以利用n阶矩阵与幂零矩阵的运算解决需许多实际问题，即每一个奇异方阵均可表示成一个幂零方阵加上两个幂零方阵的乘积. 利用幂零矩阵的性质，可以把一个n阶方阵变为两个可逆矩阵与一个对角矩阵之和，进而方便研究矩阵的其他性质,并通过具体例子说明其在实际应运中的作用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

摘 要

在高等数学研究中，矩阵不仅是研究问题的一种重要工具而且在实际生活中具有广泛的应用,幂零矩阵是矩阵中满足Ak?0的一类比较特殊的矩阵，所以幂零矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，同时在实际应用方面也具有特殊的意义。幂零矩阵具有很多很好的性质，本文归纳总结18条性质，共用到定理或引理14条，系统说明这些性质并给出相应的证明；如在求特殊矩阵的逆以及在若尔当标准型的计数方面等，本文深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析、论证这些性质。同时本文幂零矩阵自身具有的一些特殊性质给出了论证，并举例加以说明。

本文同时探讨了2个矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的方便化与简单化，体现了幂零矩阵的实用性以及研究的必要行；同时探讨了数域K上n阶矩阵与幂零矩阵简单的联系，比如可以利用n阶矩阵与幂零矩阵的运算解决需许多实际问题，即每一个奇异方阵均可表示成一个幂零方阵加上两个幂零方阵的乘积. 利用幂零矩阵的性质，可以把一个n阶方阵变为两个可逆矩阵与一个对角矩阵之和，进而方便研究矩阵的其他性质,并通过具体例子说明其在实际应运中的作用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届 本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

院（系）名称 专 业 名 称 学学指

导

教生

姓

名 号 师

数学科学学院 数学与应用数学

李俊霞 080414076 黄盛 讲师 2012.5

完 成 时 间

洛阳师范学院本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

李俊霞

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076

指导教师：黄盛

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

1 关于正定矩阵的定义

本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为

定义1?1? n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ,都

T有XTAX?0.这种正定矩阵的全体记作PS.

1970年，C.R.Johnson首先提出了较广义的正

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法

科技论坛　正定矩阵的几种经典证明方法　封京梅　（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）　摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定　矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等　知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。　关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式　零，由归纳法的假设可知Ａ。是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１　引言　ｑ　ｑ　矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在　级矩阵Ｇ使Ｇ　ＡＧ＝　（Ｅ　是ｎ一１级单位矩阵），　解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代　数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受　到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用　正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性　质．首先，对以下名词加以说明：　①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意　一　，恐，‘‘　）　∈　，Ｘｏ；０均有价。Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定