固体物理第三章答案

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Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质

(lattice vibration and its heat characteristics)

姓名

一、简要回答下列问题(answer the following questions):

1、在晶格常数为a的一维单原子晶格中，波长λ=8a和波长λ=8a/5的格波所对应的原子

振动状态有无不同? 试画图加以说明。

［答］对于一维单原子链，由q=2π／λ知，λ＝8a时，q＝π／4a，λ＝8a／5时，q＝5π

／4a，二者的aq相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原子振动状态不同。

如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原子的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ［答］在简谐振动下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的

振动，每一个谐振子的振动模式称为简正振动模式

第三章 晶体结合

3．1 惰性气体晶体 惰性气体晶体是最简单的分子晶体，原子间的相互作

用能可以用勒纳—琼斯势描写 u?r???AB?12 6rr式中r是原子间的距离，A、B是两个常数．第一项代表吸引作用，第二项代表排斥作用．若用两个无量纲的参量?,?表示，则勒纳—琼斯势可以写为

6????12???? u?r??4????????

?r?????r??式中???BA?，??A24B，它们可以由气态参数给出。 (a)画出勒纳—琼斯势能曲线，并说明参数?,?的物理意义．

(b)对fcc结构的惰性气体晶体，证明平衡时原子间的最近距离r0?1.09?，每个原子的内聚能为u??8.6?．

(c)证明平衡时面心立方结构的惰性气体晶体的体弹性模量是B0?[解]

(a)勒纳—琼斯势为

????12???6?u?r??4????????

?r?????r??75?16?3

令

r??x,u?r??f 4?则又可以写为 f?x??11? 126xxdf?0即 dx作出函数曲线如图3．1所示．曲线的极小值对应于

?12x?13?6x?7?0x?2?1.1216

零，(大丫＝d 6： 幂，(太)6zi e2‘：

3．1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移

?nj?ajsin(?tj?naqj??j)?nj为：

?j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kBT。具体计算每个原子

的平方平均位移。 解：（１）根据其中T?1T1?0sin2(?jt?naqj??j)dt? T22??j2为振动周期，

所以?nj?ajsin(?jt?naqj??j)?（２） 第j个格波的平均动能

2212aj 2?n122?njm??112222m?a2?cos(?t?naq??)?maj?jN jjjjj2n411格波平均能量＝kBT 22（３） 经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝

112ma2?N?kBT jj42振幅

a2j?2kBTkBT122， 所以 。 ??a?njj22Nm?j2Nm?j22?n?(??nj)2???nj??a2j??jjjj而每个原子的平方平均位移为：

12kBT 。 2Nm?j

３．２讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其２N个格波的解。当m?M时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： ??2a?q??2a

1??2??m?M4mM??22声学波：????sinaq?1

第三章 金属凝固热力学与动力学

1． 试述等压时物质自由能G随温度上升而下降以及液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由。并结合图3-1及式（3-6）说明过冷度ΔT是影响凝固相变驱动力ΔG的决定因素。

答：(1)等压时物质自由能G随温度上升而下降的理由如下：

由麦克斯韦尔关系式：

dG??SdT?VdP （1）

??F???F??y)??dy ?dx??????x?y??y?x??G???G??dT???dP （2）

??T?P??P?T??G????V ?P??T并根据数学上的全微分关系：dF(x,得： dG????G????S,比较（1）式和（2）式得： ??T??P等压时dP =0 ，此时 dG??SdT????G??dT （3） ??T?P由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。

(2)液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由如下： 因为液态熵大于固态熵，即： SL ＞ SS 所以：

1.“晶格振动”理论是半经典理论。

答：晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格振动的研究是从晶体热力学性质开始的杜隆-珀替定理总结了固体热容量在室温和更高的温度适合而在较低的温度下固体的热容量开始随温度的降低而不断降低，从而进一步发展出了量子热熔理论。但是经典晶格振动理论知识局限于固体的热学性质，故是半经典理论。首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。

2.声学波和光学波的区别。长光学支格波与长声学支格波的本质差别。格波支数的关系。

定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，光学波描述了元胞内原子的相对运动。描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格

[习题解答]

?

?3

3-1 用榔头击钉子，如果榔头的质量为500 g，击钉子时的速率为8.0 m?s1，作用时间为2.0?10

s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。

解 对于榔头：

,

式中I1是榔头所受的冲量，

是榔头所受钉子的平均打击力；

对于钉子：

,

式中I2是钉子受到的冲量，

是钉子所受的平均打击力，显然

= ?

。

题目所要求的是I2和

：

,

I2的方向与榔头运动方向一致。

,

的方向与榔头运动方向一致。

3-2 质量为10 g的子弹以500 m?s

?1

的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为

400 m?s?1 。如果子弹穿过木板所需时间为1.00?10?5 s，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹

的平均阻力。

解

(1)用动能定理求解：

, (1)

其中

是木板对子弹的平均阻力，d为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：

, (2)

. (3)

由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为

&nb

.

根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为

.

(2)用动量定理求解：

,

.

与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。

3-4 质量为m的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率

第3章 习题

一、填空题

3.1.1 跨过定滑轮的细绳下端系质量为m的物体，在物体以g/4的恒定加速度下落一段距离h的

过程中，绳的拉力对物体做的功为

g的恒定加速度下落一段距离h的过程。设初速率为vP，末速率vQ满足 4g22vQ?vP?2a?s?2h （3-1）

4???物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，合外力F做功为

考察物体以

??Q??Q??A??F?dr??mg?dr??T?dr?Amg?AT

PPPQ（3-2）

注意到重力是保守力，其做功为

Amg???EpQ?EpP???(mghQ?mghP)?mg?hP?hQ??mgh

对物体使用动能定理，有

（3-3）

A?EkQ?EkP?3AT??mgh

4

1212122mvQ?mvP?m?vQ?vP? 222（3-4）

联立（3-1）～（3-4），可求出绳的拉力对物体所做的功为

m水，假设水下落过程中动能的75％由水力发电机转换成3.1.2 高100m的瀑布每秒钟下落1200电能，则此发电机的输出功率为 。

依题设，每秒钟有质量为

3m??V?1.0?103kg?m?3?1200m3?1.2?106kg

的瀑布水下落。取水和地球为系统，在水从瀑布

1.（20分）

设体心立方格子的结晶学晶胞（Convention cell ）的基矢是a1,b1c,令

????,j,k为直角坐标的三个互垂直的单位矢

????a?ia,b?ja,c?ka

????这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢，按规定

a????a????a???a1?(???j?k),a2?(??j?k),a3?(??j?k)

222?a2?a3?定义:b1?2?,b2?????b3????a1?a2?a3??????13a2a2??a2?a3?(j?k)22????b1?(j?k)?a??理学原胞2?????它们是倒点阵的固体物b2?(k?i)?a?(Primitivecell)的三个基矢?2????b3?(i?j)??a??

这个倒点阵的结晶学胞原（Convention cell）应当是显示其立方晶系对称性的最小重复单元。设它的三个基矢bi,bj,bk则bi,bj,bk组成面心立方晶胞。设它们的 是b

?b??则b1?(j?k)2??????b??b2?(R?i)2?b??b3?(i?j)2?即2?b2?,得b??2?a2a?????

结论基矢是a?ia,b?ja,C?ka,的体

第2章晶体的结合

习 题 1. 有一晶体,平衡时体积为 V0， 原子间相互作用势为U0.如果相距为 r的两原子互作用势为 u?r???arm??rn 证明

(1) 体积弹性模量为 K=Umn09V. 0(2) 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.

[解答]设晶体共含有 N个原子,则总能量为

U(r)=1'2??u?rij?. ij由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U=N2?'u?rij?. j设最近邻原子间的距离为R则有rij?ajR

再令 A?'1N??Am?An?m?jam,An??'1n,得到 U=jjaj2???m?Rn?. ?R00??平衡时R=R0,则由已知条件U(R0) = U0 得

N???A??m??An?2RmRn???U0

?00?由平衡条件 dU(R)dR?0

R0得

N??m?Am?n?An?2?n?1?0. ?Rm?10R0???由(1),(2)两式可解得

?A2U0m?nRm0, N(m?n)?A

3.4 解：

双线性变换法：

21?z?11?z?1?由于T=2，则：s?

T1?z?11?z?1H(z)?Ha(s)|11|??121?z1?zs?s?1?z?121?z?1s?s?1?1?11?z1?z()??11?z?11?z?1(1?z?1)2? ?12?1?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)?1?1?2z?1?z?2?3?z?2脉冲响应不变法：

Ha(s)?1s2?s?1?j33j?331313s?(??j)s?(??j)2222

33?jj33H(z)??13131?e?(??j)T22?z?1?1?ej?(?j)T22z?1?j1?e33z333)?1(?1?j3)?11?e?(1?jz

3.7 解：

数字滤波器的截止频率为：

2?fc2??103wc?2?fcT???1

fs6.28318?103根据脉冲响应不变法，模拟滤波器的截止频率?c?2?fc?wc/T?三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?进行反归一化，令s?s/?c，则

11 T1 231?2s?2s?s?c31Ha(s)??3231?2s/?c?2(s/?c)?(s/?c)?c?2s?c2?2s2?c?s3?c?(?c/3)ej?/6