空间几何线面垂直证明方法

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC

方法二：构造平行四边形，找平行线

AE//平面DCF.

分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD

分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.

如图⑷

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC

方法二：构造平行四边形，找平行线

AE//平面DCF.

分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD

分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.

如图⑷

线面垂直与面面垂直全面复习

1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC 平面PBD

2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中. 求证：平面ACD1 ⊥ 平面BB1D1D

D A1

D

D

C

C11

C

A

3如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

4.在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.

1

5.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

6、如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°， (1)求证：MN⊥平面PCD；

(2)试问矩形ABCD满足什么条件时，PC⊥BD.

7.在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°， E，F分别是AP，AD的中点．

求证： (1)直线EF

篇一：线面、面面垂直的证明

线面、面面垂直的证明

广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 冼虹雁

教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修）人民教育出版社（人教版） 年级、科目：高三数学第1轮复习课 第十章 第9课时

一、【教材分析】

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．

预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：

（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．

二、【教学目标】

知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；

（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．

过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳

高考数学专题突破——空间几何

课题1：平行、垂直的证法定理

一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路：平面平行?线面平行?线线平行. 1、线线平行的证明方法： ①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行； 平行四边形的对边平行； 利用比例、……； ②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行； ④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； ⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、线面平行的证明方法： ①线面平行的定义：直线与平面没有公共点； ②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； ③面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3、面面平行的证明方法： ①面面平行的定义：两平面没有公共点； ②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相

2010----2011学年高一数学必修2导学案 使用时间 2010. 编号：10 编制人：郑晓娟 马丹 郭晓燕 审核人：郑晓娟 审批人： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价： 教师评价：

6.1（1）直线与平面垂直的判定

【使用说明】：1、课前完成预习学案的问题导学及例题及深化提高

2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑

【重难点】：重点：直线与平面垂直的定义和判定定理

导难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的应用

一、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理

2、通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴含在其中的思想方法 3、让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。

二、问题导学

学1、观察教室现有的物体，找出直线与平面垂直的例子

2、拿一块直角三角板，使三角板的期中一条直角边所在直线与桌子重合，将三角板绕另外一条直 角边转动（转动时与桌子重合的直角边始终与桌面重合），问竖起来的直角边与桌面内多少直线垂 直？由此归纳直线和平面垂直的定义__________________

2.3线面垂直、面面垂直的判定

知识点:

1.定义:如果直线l与平面?内任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面?互相

垂直,记l??.直线l叫做平面?的垂线, 平面?叫做直线l的垂面. 2.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线

与此平面垂直 符合表示:

3.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个屏幕垂直. 符合表示: 例题解析:

例1. 已知a∥b,a ??,求证: b??.

练习1:设l,m是两条不同的直线A.若l?m,m??,则l??,?是一个平面,则下列命题正确的是B.若l??,l∥m,则m??

()

a b ? C.若l∥?,m??,则l∥m D. 若l∥?,若m∥?,则若l∥m, 例2:如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB?AC

A C V B 练习2: .在正四面体P-ABC中,E是BC的中点,求证:平面PAE?平面ABC

B E A C P 例3.如图,在?ABC中,?ABC?900,D为AC的中点,S是?ABC所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD?平面ABC; (2)若AB=

几何证明的基本方法

一．割补法：

1.（全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，点E是BC上一点，BE k EC， BAE CDE，猜想AB、CD的数量关系.

2. （全等）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB AC，CD//BA，点P

是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

相似）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB k AC，CD//BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

--1--

3. （全等）如图，在 ABC中，AB AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中，AB k AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

4. （全等）如图，在 ABC中， DBC ECB

探究BE与CD的数量关系.

1 A，BD、CE交于点P. 2

（相似）如图，在 ABC中， DBC ECB A，BD、CE交于点P，PB k PC.

探究BE与CD的数量关系.

5．（全等）如图，在 EBC