方程的整数解的个数怎么求

求不定方程整数解的常用方法

摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字：不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究

方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法 例1. 例2.

练习1.求方程2xy?5?4y?x的正整数解

2. 变量分离法

求方程x2?y2?868的正整数解 求方程xy?x?y?6的整数解

4是整数，则整数a的取值为 a?14 若代数式是正整数，则整数a的取值为

a?1引例1.若代数式例3.

练习2.已知方程xy?3x?5y?77，x，y为整数，则满足条件得所有对（x，y）的组数为

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求方程2(x?y)?xy?7的正整数解

3. 选取主元法（△法） 例4.

已知a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0（其中a为非负整数）至少有一整数根，

则a=

変题1.若两个实根都是整数，则a= 変题2.若a是整数，则a= 例5.

设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求

满足条件的所有整数k的值。

変题1.若改整数k为实数

列方程解决问题

方程求比一个数的几倍多（或少）几的数是多少

知识1：列方程求比一个数的几倍少几的数是多少的实际问题(形如ax-b=c) 1. 学校今年栽梧桐树128棵，比樟树棵数的3倍少22棵。学校今年栽樟树多少棵？

2. 学校饲养小组今年养兔子25只，比去年养的只数的3倍少8只，去年养兔子多少只？

3．张林和李涛收集邮票，张林收集了126张，比李涛的3倍少6张，李涛收集了多少张邮票？他们共收集了邮票多少张？

4、 一只足球46.8元，比一只排球价钱的3倍少1.2元，一只排球的价钱是多少元？

5、果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？

知识2 列方程求比一个数的几倍多几的数是多少的实际问题(形如ax+b=c)

1、上海“东方明珠”电视塔高468米，比一座普通住宅楼的31倍多3米，这幢普通住宅楼高多少米？

2、今天促销，售出女装125件，比男装的4倍还多5件。今天售出的男装多少件？

3、吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？

4、华村现有106户装了电话，比原来装电话户数的13倍多2户，原来有多少户装了电话？

列方程解决问题

方程求比一个数的几倍多（或少）几的数是多少

知识1：列方程求比一个数的几倍少几的数是多少的实际问题(形如ax-b=c) 1. 学校今年栽梧桐树128棵，比樟树棵数的3倍少22棵。学校今年栽樟树多少棵？

2. 学校饲养小组今年养兔子25只，比去年养的只数的3倍少8只，去年养兔子多少只？

3．张林和李涛收集邮票，张林收集了126张，比李涛的3倍少6张，李涛收集了多少张邮票？他们共收集了邮票多少张？

4、 一只足球46.8元，比一只排球价钱的3倍少1.2元，一只排球的价钱是多少元？

5、果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？

知识2 列方程求比一个数的几倍多几的数是多少的实际问题(形如ax+b=c)

1、上海“东方明珠”电视塔高468米，比一座普通住宅楼的31倍多3米，这幢普通住宅楼高多少米？

2、今天促销，售出女装125件，比男装的4倍还多5件。今天售出的男装多少件？

3、吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？

4、华村现有106户装了电话，比原来装电话户数的13倍多2户，原来有多少户装了电话？

手把手教你怎么用UDS解自己的方程

记得上次有人在论坛里面问具体怎么用UDS（用户自定义方程），我想有些对FLUENT不熟悉的人可能对UDS的使用不太了解，所以我这里写一个很简单的UDS使用入门，欢迎大家提出意见:

我们经常要解一些类似于对流扩散方程的方程与流场耦合，用来描述传质，输运等等一系列的现象，那么我们就用得到UDS。所谓UDS，就是用户自定义标量方程，这类方程大致表达式如下：

JOxw

依次为时间项，对流项，扩散项，源项。

当然其中有可能有些不同，不过只要是对流扩散型的方程，都可以用UDS来解（前面有人讨论只包含对流而没有扩散的方程用UDS来解的例子，不过效果据说不好：），跳过）。与标准对流扩散方程多出来的部分，都可以写到SOURCE（源项）里面。

以下解一个如下的POSSION方程为例，来介绍一下整个UDS求解的流程：

yb1

04Z

1

清洁qG+LTeS

该源项用UDF加入到求解方程中，调用的宏为DEFINE_SOURCE，具体参见帮助的相关章节，这里该UDF可写为：#include "udf.h"

DEFINE_SOURCE(uds_source,c,t,dS,eqn)

{

real x[ND_ND];

real source;

C_CENTROID(x,

《求一个数的几倍是多少》教学设计

一、教案背景

1，面向学生： □中学 √小学

2，学科、年级、课题：青岛版义务教育课程标准实验教科书数学二年级上册《求一个数的几倍是多少》

3，课时数：共1课时 4，课前准备：

（一）学生课前准备：

1、结合教材的内容，让学生预习课本。 2、让学生观察身边的有关倍数的问题。 （二）教师课前准备 1、多媒体课件 2、作业纸两张 3、圆形卡片若干 二、教学目标：

知识目标：能正确理解“一个数的几倍是多少”。

技能目标：在自主探索与合作交流中，体验解决问题的过程，能用倍的关系解决相关的现实问题，并在解决实际问题的过程中，提高综合数学的能力。

情感目标：通过解决生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

发展目标：培养学生良好的数学思维习惯。让学生在学习过程中产生积极的数学情感和端正的学习兴趣。 三、教材分析

1、学生是课堂的主人，根据低年级年龄的特点，设计的各个活动做到趣味性与科学性统一，关注学生的兴趣与爱好。在课堂中，让学生与真实的动物亲密接触中感受倍数的乐趣，让真实的情境再现，构建一个真实互动的生活化课堂。

2、合理正确地使用教材，在教学中引导学生与教材内容的互动

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法

张昕

陕西省潼关县潼关高级中学 714399

求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直

接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.

（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、

双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.

（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹

方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的

变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.

（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列

求一个数是另一个数的几倍的应用题

教学内容：

课本第53页例6，完成“做一做”及练习十四的3——5题。

教学目的：

使学生初步学会解答求一个数是另一个数的几倍的应用题。

教学重难点：

“倍”的含义。

教学过程：

一、 复习导入（出示课件）

苹果：

梨：

6里面有（ ）个2, 苹果的个数是梨的（ ）倍 指名学生读后口答。 二、 新授 1、初步感知

出示例6（出示课件）

饲养组养了12只小鸡，3只小鸭。小鸡的只数是小鸭的几倍？ ①带领学生读题。

学生自由读题，思考题中的已知条件和要求的问题是什么。 学生读题后提问：

这道题的已知条件是什么？指名学生回答，师出示如课本12只小鸡图和3只小鸭图。

这道题要求的问题是什么？指名学生回答。

求小鸡的只数是小鸭的几倍，小鸡多少只？小鸭多少只？那么求小鸡的只数是小鸭的几倍就是求12是3的几倍，12是3的几倍换种说法是什么？（课件上显示：12里面有（ ）个3，12是3的（ ）倍）

②看图理解题意

从图上分析：12里面有4个3，所以12是3的4倍。 师问：我们根据除法的意义知道，要求一个数里面包含有几个另一个数用除法，也就是说要求12里面有几个3用除法，那么要求12是3的几倍用什么方法

求一个数是另一个数的几倍的应用题

教学内容：

课本第53页例6，完成“做一做”及练习十四的3——5题。

教学目的：

使学生初步学会解答求一个数是另一个数的几倍的应用题。

教学重难点：

“倍”的含义。

教学过程：

一、 复习导入（出示课件）

苹果：

梨：

6里面有（ ）个2, 苹果的个数是梨的（ ）倍 指名学生读后口答。 二、 新授 1、初步感知

出示例6（出示课件）

饲养组养了12只小鸡，3只小鸭。小鸡的只数是小鸭的几倍？ ①带领学生读题。

学生自由读题，思考题中的已知条件和要求的问题是什么。 学生读题后提问：

这道题的已知条件是什么？指名学生回答，师出示如课本12只小鸡图和3只小鸭图。

这道题要求的问题是什么？指名学生回答。

求小鸡的只数是小鸭的几倍，小鸡多少只？小鸭多少只？那么求小鸡的只数是小鸭的几倍就是求12是3的几倍，12是3的几倍换种说法是什么？（课件上显示：12里面有（ ）个3，12是3的（ ）倍）

②看图理解题意

从图上分析：12里面有4个3，所以12是3的4倍。 师问：我们根据除法的意义知道，要求一个数里面包含有几个另一个数用除法，也就是说要求12里面有几个3用除法，那么要求12是3的几倍用什么方法

用二分法和割线法求非线性方程cos(x??01?sin?)d??0在[2，3]中

的解,使误差不超过10?4， 可按如下方法进行：（）用区间法确定一个包含解的小区间；1（2）用割线法求该方程在此区间中的根。

主程序为：

%计算方法上机第八题 clc;clear; syms x a f

f=cos(x*sin(a)); %定义积分函数

t1=0;t2=pi;l1=2;l2=3;e1=10^-5;e2=10^-4;e3=10^-3; f1=subs(f,x,l1);f2=subs(f,x,l2);

s1=romberg(t1,t2,f1,e1); %调用Romberg积分函数 s2=romberg(t1,t2,f2,e1); if s1*s2>0

disp('There is no root in the range of [2,3].'); else

while (l2-l1)>e3 %二分法确定包含解的小区间 l3=(l1+l2)/2; f3=subs(f,x,l3);

s3=romberg(t1,t2,f3,e1); if s1*s3<0