二体问题的推导
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二体问题(于万堂)
二体问题及质心系问题
一.质心运动定理
二.二体问题的动力学问题
如果一个系统中有两个相互作用的质点,并且系统的合外力为零,这类问题叫做二体问题. 如图所示,两个质点的质量分别为m1和m2,两者之间的相互作
1 f21 f12 2 ????用力分别f21和f12,则有:f21?m1a1 f12?m2a2
?m1m2?11????a12?ua12 所以有:a1?a2?(?)f21 即:f21?m1m2m1?m2其中u叫做约化质量。即:两个物体之间的相互作用力大小等于约化质量乘以两个物体的
相对加速度。
假如两个质点的质量分别为m1和m2,相距为r12,如果以质心C作为参考系,则1球和2球的坐标为:r1C?1 C 2 m2m1r12 r2C?r12
m1?m2m1?m2对以上两个式子求导得:v1C?m2m1v12 v2C?v12
m1?m2m1?m2再对以上两式求导得:a1C?m2m1a12 a2C?a12
m1?m2m1?m2?m1m2???a12 所以:f?m1a1C f?m2a2C 又因为:f21?m1?m2即:二体问题中,两物体之间的相互作用力等于物体的质
两次相遇问题公式的推导
两次相遇问题公式的推导
设A、B两地的距离为S,第一次相遇地点时距离B地S1,第二次相遇时距离A地S2,那么S=3S1-S2(双边公式)。
第一次相遇甲的路程为:S- S1 乙的路程为:S1 第二次相遇甲的路程为:2S-S2 乙的路程为:S+ S2
由于甲与乙两次相遇用的时间相同,因此两次相遇路程之比等于甲、乙的速度之比,即 V甲 S- S1 2
V乙
=
S1
=
2S-SS+ S2
简化:2SS2
1-S1S2=S+SS2-SS1-S1S2→2S1=S+S2-S1→S=3S1-S2 S2 S1
甲
② ① A
B
设A、B两地的距离为S,第一次相遇地点时距离B地S1,第二次相遇时距离B地S2,那么S=(3S1+S2)/2(单边公式)。
由图可知双边公式中的S2相当于单边公式中的S-S2,代入双边公式可得出S=3S1-(S-S2)→2S=3S1+S2→S=(3S1+S2)/2 S2 S1
② ① A
B
乙
甲乙
3.8牛顿第二定律的应用(五)连接体、叠加体问题
3.8牛顿第二定律的应用(五) 连接体、叠加体问题(教案)
一、连接体、叠加体
1.定义:通常是指某些通过相互作用力(绳子拉力、弹簧的弹力、摩擦力等)互相联系的几个物体所组成的物体系。 2.常见模型:
(1)用轻绳连接 ( 2 )直接接触 ( 3 )靠摩檫接触 3.特点:它们一般有着力学或者运动学方面的联系。 4.常见的三类问题:
(1)连接体中各物体均处于平衡状态
例1.如图已知Q和P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ ,两物体的质量都是m,滑轮的质量和摩擦都不计。若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动,则F的大小为多少? (答案4 μ mg)
(2)各物体具有相同的加速度
例2.如图水平面光滑,对M施加水平向右的推力F,则M对m的弹力为多大?
(3)连接体中一个静止,另一个物体加速
例3.如图中物块m沿斜面体M以加速度a下滑,斜面体不动.求地面对斜面体的静摩擦力的大小与方向。 解法一:对两个物体分别应用隔离法
解法二:系统应用牛顿第二定律法f=macosθ+M×0=macosθ 5.研究对象的选择和三种常用解题方法: (1)研究对象的选择 (2)三种常用方法 方法一:隔离法
方法二:整体与隔离相结
逻辑推导
【1】假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现有2个空水壶,容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
由满6向空5倒,剩1升,把这1升倒5里,然后6剩满,倒5里面,由于5里面有1升水,因此6只能向5倒4升水,然后将6剩余的2升,倒入空的5里面,再灌满6向5里倒3升,剩余3升。
【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天,周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。\等等,妈妈还要考你一个题目,\她接着说,\你看这6只做化验用的玻璃杯,前面3只盛满了水,后面3只是空的。你能只移动1只玻璃杯,就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?\爱动脑筋的周雯,是学校里有名的\小机灵\,她只想了一会儿就做到了。请你想想看,\小机灵\是怎样做的? 设杯子编号为ABCDEF,ABC为满,DEF为空,把B中的水倒进E中即可。
【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30%,小黄比他好些,命中率是50%,最出色的枪手是小林,他从不失误,命中率是100%。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:小李先开枪,小黄第二,小林最后。然后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个
MM定理的严格推导
MM定理的严格推导
一基本模型
1. 未确定现金流的资本化率
假设公司只进行股权融资。
假设1:公司拥有的实物资产会带来一系列现金流(即收益),现金流是随机变量,不同个体对各现金流的预期期望值相同。
假设21:某一公司的股票收益与同一类别(这应该就是类别的定义吧)的另一公司的股票收益的比值为常数。也就是说,对同一类别的公司,
股票收益有完全相同的分布(不是独
股价立同分布,而是同一个分布)。
在上述假设下,每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。即,
Pj?Xj?k(1)
或
Xj??kPj(2)
是其股票收益的期望,?k为常数。
其中,Pj是第k类公司中、公司j的股价,
Xj?k具有三个含义:
a) 式(2)表示?k是1单位股份的期望收益。 b) 式(1)中,令Xj?1,则Pj?1?k,表示
1?k是为获得1单位收益所支付的成本。
c) 从终身年金的角度考虑,式(1)表示?k是未确定现金流的贴现率,即未确定现金流
的资本化率。
1
该假设过于严格,它保证了任何情况下MM定理的成立。该假设可放宽,比如,如果人们的投资决策只与
圆锥体积公式的推导
推导
第十课时
教学目标:
知识与能力:使学生理解求圆锥体积的计算公式.
过程与方法:会运用公式计算圆锥的体积.
情感态度和价值观::培养学生初步的空间观念和思维能力;让学生认识“转化”的思考方法。
教学重点
圆锥体体积计算公式的推导过程.
教学难点
正确理解圆锥体积计算公式.
教学过程:
一、铺垫孕伏
1、提问:
(1)圆柱的体积公式是什么?
(2)投影出示圆锥体的图形,学生指图说出圆锥的底面、侧面和高.
2、导入:同学们,前面我们已经认识了圆锥,掌握了它的特征,那么圆锥的体积怎样计算呢?这节课我们就来研究这个问题.(板书:圆锥的体积)
二、探究新知
(一)指导探究圆锥体积的计算公式.
1、教师谈话:
下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法.老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器,两个圆柱体容器和一些沙土.实验时,先往圆柱体(或圆锥体)容器里装满沙土(用直尺将多余的沙土刮掉),倒人圆锥体(或圆柱体)容器里.倒的时候要注意,把两个容器比一比、量一量,看它们之间有什么关系,并想一想,通过实验你发现了什么?
2、学生分组实验
学生汇报实验结果
①圆柱和圆锥的底面积相等,高不相等,圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒,倒了一次,又倒了一些,才装满.
推导
②圆柱和圆锥的底面积不相等,高相等,
坐标旋转推导
旋转坐标公式推导
x' cos y' sin
其中 sin x cos y x,y表示物体相对于旋转点旋转 的角度之前的坐标,x',y'表示物体逆时针旋转 后相对于旋转点的坐标
从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐
,,,,,cd, 标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转 角度后的位置为C(c,d),则xyab
有如下关系式:
1.设A点旋转前的角度为 ,则旋转(逆时针)到C点之后角度为
2.求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/Sin( ) x/Cos( )
3.求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/Sin( ) c/Cos( )
4.显然dist1=dist2,设dist1=R所以:
R=y/Sin( ) x/Cos( ) d/Sin( ) c/Cos( )
5.由三角函数两角和差公式知:
旋转坐标公式推导
n ) Si(
s ) Co(
所以得出:
S(i n)C(o s)C ( o)sC ( o)s C(o )s (S i)n SinSin
c=RCos( ) RCos( )Cos( ) RSin( )Sin( ) xCos( ) ySin(
公式推导:马歇尔-勒纳条件:假定、推导和说明
马歇尔-勒纳条件:假定、推导和说明1
马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下
本币对外贬值改善贸易收支的必要条件
1)假定:
局部均衡:进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定,其他影响进
出口的因素,如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变; 贸易商品的供给弹性无穷大,进出口的价格不因需求的增加而上涨,也不因
需求的减少而下降(贬值国是小国);
不考虑资本流动,即国际收支等于贸易收支;
初始条件假定:假定贬值前贸易差额不大,进出口在贬值前基本平衡;
设出口商品的汇率弹性为 X,进口商品的汇率弹性为 M,即:
(1)
其中:
Δ:变化量,
X和M:分别表示出口数量和进口数量,
r:直接标价的汇率(一单位外币可兑换的本币数量)。本币对外贬值时,
r增加。
2)推导过程:
由于一国通常采用本币来记录国际收支,因此,我们讨论用本币表示国际收支的情况。
在没有国际资本流动的假定下,国际收支B等于贸易收支:
B PX rPM (2)
其中Px为出口商品以本币表示的价格,PM为进口商品以外币表示的价格,并假定这些价格不变。
如果本币贬值,即r增加时,dB>0,则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对(2)式求导,得: 1本推导过程和说明的主要来源
物理必修二天体运动各类问题
天体运动中的几个“另类”问题
天体运动部分的绝大多数问题,解决的原理及方法比较单一,处理的基本思路是:将天体的运动近似看成匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力列方程,向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。
如有必要,可结合黄金代换式
简化运算过程。不过,还有几类问题仅依靠
基本思路和方法,会让人感觉力不从心,甚至就算找出了结果但仍心存疑惑,不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质,把握解决的关键,不仅要知其然,更要知其所以然。
一、变轨问题
例:某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动,某次测量卫星的轨道半径为,后来变为表示卫星在这两个轨道上的线速度大小,周期,则( ) A. B. C. D.
,,,,
,,,,
、
,以
、
表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的
分析:空气阻力作用下,卫星的运行速度首先减小,速度减小后的卫星不能继续沿原轨
道运动,由于而要作近(向)心运动,直到向心力再次供需平
衡,即,卫星又做稳定的圆周运动。
如图,近(向)心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直,会让卫星加速,速度增大(从能量角度看,万有引力对卫星做正功,卫星动
圆锥体积公式的推导
推导
第十课时
教学目标:
知识与能力:使学生理解求圆锥体积的计算公式.
过程与方法:会运用公式计算圆锥的体积.
情感态度和价值观::培养学生初步的空间观念和思维能力;让学生认识“转化”的思考方法。
教学重点
圆锥体体积计算公式的推导过程.
教学难点
正确理解圆锥体积计算公式.
教学过程:
一、铺垫孕伏
1、提问:
(1)圆柱的体积公式是什么?
(2)投影出示圆锥体的图形,学生指图说出圆锥的底面、侧面和高.
2、导入:同学们,前面我们已经认识了圆锥,掌握了它的特征,那么圆锥的体积怎样计算呢?这节课我们就来研究这个问题.(板书:圆锥的体积)
二、探究新知
(一)指导探究圆锥体积的计算公式.
1、教师谈话:
下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法.老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器,两个圆柱体容器和一些沙土.实验时,先往圆柱体(或圆锥体)容器里装满沙土(用直尺将多余的沙土刮掉),倒人圆锥体(或圆柱体)容器里.倒的时候要注意,把两个容器比一比、量一量,看它们之间有什么关系,并想一想,通过实验你发现了什么?
2、学生分组实验
学生汇报实验结果
①圆柱和圆锥的底面积相等,高不相等,圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒,倒了一次,又倒了一些,才装满.
推导
②圆柱和圆锥的底面积不相等,高相等,