拓扑学基础参考答案第二版

点集拓扑学练习题

一、单项选择题（每题2分）

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}}

④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}}

2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a

第1章 绪论

拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段．

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对T0、T1、T2、正则、正规、T3、T4、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．

第2章 可数性公理

2.1 第一第二可数性公理

ⅰ 可数性公理的相关定义

点集拓扑学练习题参考答案(第5章)

一、单项选择题

1、实数空间R( )

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

2、整数集Z作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

4、无理数集作为实数空间R的子空间（ ）

① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对

答案：③

5. 实数集合R的可数补空间是

(1)A1空间(2)T2空间(3)可分空间(4)Lindeloff空间答案：(4)

6、2维欧氏间空间R2（ ）

① 仅满足第一可数性公理

点集拓扑学练习题（第6章）

一、单项选择题

1、设X是一个拓扑空间，若对于?x,y?X,x?y,均有{x}?{y},

则X是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：① 2、设X?{1,2}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对

答案：①

3、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{1}}，则(X,T)是( )

① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④

3}}，则(X,T)是( ) 4、设X?{1,2,3}，T?{X,?,{2，① T0空间 ② T1空间 ③ T2空间 ④ 以上都不对 答案：④ 5、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则

点集拓扑学

合肥工业大学数学学院

预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》

会计学 周晓苏 第二版 参考答案

第一章 会计学概述

自测题答案：

1. A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9. B 10. A 练习题答案： 练习一

滨海诊所资产=50 000+250 000+80 000+10 000=390 000 滨海诊所负债=200,000+50 000=250 000 滨海诊所所有者权益=390 000-250 000=140 000 练习二

红杉家电维修部资产=28000+30000+50000+20000+10000=138000 红杉家电维修部负债=48000+2000=50000

红杉家电维修部7月初所有者权益=138000-50000-（36000-5000-10000）=67000 练习三

资产增加量=5万，负债增加量=-5万，所有者权益增加量=5-（-5）=10万

企业当年的净利润=10万-6万=4万 练习四

(1) 只对资产的两个项目金额造成影响,对会计方程式无影响.资产低值易耗品增，现金减。

(2) 增加资产和收入.一项资产现金增加680，一项收入增加680

(3) 只对资产的两个项目金额造成影响,对会计方程式无影响. 资产预付账款

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ √ ）

11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ 12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中

Zn={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为 Z1,Z2,Z3

包含3的所有闭集为 Z,Z///14,Z5

课题：拓扑学（下）

【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。

而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。

莫比乌斯环（只有一个面）

性质

“连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。

而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史

萌芽

拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七

浙江大学<<工程化学基础（第二版）>>练习题参考答案

第一章 绪 论

练习题（p.9）

1. （1）×； （2）√； （3）×； （4）√。 2. （1）C、D；（2）C；（3）B。 3. 反应进度；ξ； mol。

4. 两相（不计空气）；食盐溶解，冰熔化，为一相；出现AgCl?，二相；液相分层，共三

相。

5. 两种聚集状态，五个相：Fe（固态，固相1），FeO（固态，固相2），Fe2O3（固态，固

相3），Fe3O4（固态，固相4），H2O（g）和H2（g）（同属气态，一个气相5） 6. n =（216.5 －180）g / (36.5g · mol-1) = 1.0 mol

7. 设最多能得到x千克的CaO和y千克的 CO2，根据化学反应方程式： CaCO3(s) = CaO(s) + CO2(g) 摩尔质量/g·mol-1 100.09 56.08 44.01 物质的量/mol

y1000?95% x

56.0×810?344.01?10?3100.09?10?3 因为n(CaCO3)=n(CaO)=n

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第一章 绪 论

练习题（p.9）

1. （1）×； （2）√； （3）×； （4）√。 2. （1）C、D；（2）C；（3）B。 3. 反应进度；ξ； mol。

4. 两相（不计空气）；食盐溶解，冰熔化，为一相；出现AgCl?，二相；液相分层，共三

相。

5. 两种聚集状态，五个相：Fe（固态，固相1），FeO（固态，固相2），Fe2O3（固态，固

相3），Fe3O4（固态，固相4），H2O（g）和H2（g）（同属气态，一个气相5） 6. n =（216.5 －180）g / (36.5g · mol-1) = 1.0 mol

7. 设最多能得到x千克的CaO和y千克的 CO2，根据化学反应方程式： CaCO3(s) = CaO(s) + CO2(g) 摩尔质量/g·mol-1 100.09 56.08 44.01 物质的量/mol

y1000?95% x

56.0×810?344.01?10?3100.09?10?3 因为n(CaCO3)=n(CaO)=n