基本群相同的空间同伦等价

实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

邹宏运 20091101342

数学科学学院 数学与应用数学专业 2009级汉班 指导教师 刘官厅

摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性

在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.

在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余

的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.

六个定理的顺序：

① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明：

同伦和基本群

在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单 的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！ 几个概念：

1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为 道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。

2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),

F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。 例：

1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。 可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的； 可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；

3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦

2011届本科毕业论文

题目：实数连续性基本定理的等价性

所在学院：数学科学学院 专业班级：数学07-4班

学生姓名：努尔阿米乃姆.阿提汗 指导教师：塔实甫拉提老师 答辩日期：2011年5月10日

新疆师范大学教务处

新疆师范大学2011届本科毕业论文

目 录

1 引言.......................................................................................................................... 1 2 实数连续性的基本概念.......................................................................................... 1

2.1 有关实数连续性的定义............................................................................... 1 2.2 有关实数连续性

第一章 群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群

定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：

（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).

（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。

设E和I对三维实空间R中向量r的作用为

3?1?G，使f?1f?ff?1?e

?1称为f的逆元素。

?Er?r,Ir??r

即E是保

第一章 群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1 群

定义 1.1 设G是一些元素的集合，G?{?,g,?}?{g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：

（1） 封闭性。即对任意f,g?G，若fg?h，必有h?G。 （2） 结合律。对任意f,g,h?G，都有?fg?h?f(gh).

（3） 有唯一的单位元素。有e?G，对任意f?G，都有ef?fe?f （4） 有逆元素。对任意f?G，有唯一的f则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f例1 空间反演群。

设E和I对三维实空间R中向量r的作用为

3?1?G，使f?1f?ff?1?e

?1称为f的逆元素。

?Er?r,Ir??r

即E是保

小括号、用同数连加、用减去相同的数解决问题 专项练习

一、计算

27＋6＋8＝ 47—6＋40＝ 40+（15-8）＝ 70＋18—60＝ 81—7—30＝ 40＋37—9＝ 53—8—30＝ 46—7＋20＝ 72＋6—40＝ 30＋39＋5＝ 43-（3+27）＝ 75-（10+50）＝ 30+（11-4）＝ 39-（9-5）＝ 53—8＋30＝ 二、解决问题

1、一共有45张桌子，小明擦了7张，小红擦了3张，还剩几张没有擦？（用两种方法计算）

2、用30根小棒最多可以拼成几个六边形？

3、爸爸买了4袋桃子，每袋7个，一共买了多少个桃子？

4、做一个毽子要用5根羽毛，23根羽毛做多可以做几个毽子，还剩几根羽毛？

5、有27箱牛奶，每次运9箱，几次能运完？

6、每条龙舟上有9个人，有3条龙舟，一共有多少个人？

7、每个星期有7天，5个星期一共有多少天？

8、每条小鱼用7块卡片拼成，拼3条小鱼，一共用了多少块小棒？

9、我做了25个面包，每个小组分7个面包，最多可以分给几组？

10、一共有18

(二)点群、单形及空间群

点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，

称32种点群

表1- 3 32种点群及所属晶系

晶 系 三 斜 单 斜 正 交 四 方 菱 方 1 2 对 称 要 素 2/m? 2 2 2 2/m 2/m 2/m ?六 方 立 方 m m m 2 4 ?3 6 ?2 3 4 4/m 4 2 m 3 ?6 6/m 6 2 m ?2/m 3 4 3 m ??3m 3 2 ?4 3 2 ? 4 m m 4 2 2 4/m 2/m 2/m 3 2/m 6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m 4/m 3 2/m ?2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推

同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误！未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：

单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称

型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。，错误！书签自引用无效

(二)点群、单形及空间群

点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，

称32种点群

表1- 3 32种点群及所属晶系

晶 系 三 斜 单 斜 正 交 四 方 菱 方 1 2 对 称 要 素 2/m? 2 2 2 2/m 2/m 2/m ?六 方 立 方 m m m 2 4 ?3 6 ?2 3 4 4/m 4 2 m 3 ?6 6/m 6 2 m ?2/m 3 4 3 m ??3m 3 2 ?4 3 2 ? 4 m m 4 2 2 4/m 2/m 2/m 3 2/m 6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m 4/m 3 2/m ?2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推

同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误！未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：

单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称

型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。，错误！书签自引用无效

3.1.3空间向量基本定理

教学目标：

1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一向量可以用三个不共

面的向量线性表示，并且这种表示是唯一的。

2.在简单的问题中，会选择适当的基底表示任一空间向量

教学重点：空间向量基本定理

教学难点：会用适当的基底表示任一空间向量

教学过程：

一.复习回顾

1、平面向量共线定理

2、平面向量基本定理

3 共面向量定理:

问题思考：空间任意一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？

二数学建构

空间向量基本定理：

基底：

单位正交基底：

说明：1、空间中任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底；

2、由于零向量可以认为与任意一个向量共线，与任意两个向量共面，所以三个

向量不共面，就隐含着它们都不是零向量；

3、一个基底是一组向量，一个基向量是基底中的某一个向量.

推论：

三 典型例题

例1.已知向量 是空间的一个基底，从

中选哪一个向量，一定可以与向量 ， 构成空间的另一个基底？

变式：已知空间四边形OABC ，M 和N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且使MG=2GN ，试用基底 表示向量 .

{,,}a b c ,,a b c =+p a b =-p a b

''''',,

本科生毕业论文

题 目

凸函数的几个等价定义

系 别

班 级

姓 名 学 号

答辩时间

学院

目 录

摘要……………………………………………………………………………………4 1凸函数的定义………………………………………………………………………6 2凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………6 2.1凸函数的等价定义………………………………………………………………6 2.2凸函数的性质……………………………………………………………………7 3凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………10 3.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………10 3.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………11 总结……………………………………………………………………………………16 参考文献………………………………………………………………………………17 谢辞……………………………………………………………………………………18

凸函数的几个等价定义

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有