考研数学讲义

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x 3y'' xy'''

6

x 0

216 3y'

考研数学的命题特点

1. 基础性

【例一】极限定义

1、lim是什么？（lim是什么？）

x??n??①lim

x??1）“x??”存在六种情形 （1）x?x0

???0,0?x?x0??, （2）x?x0?

???0,0?x?x0??, （3）x?x0?

???0,0?x0?x??, (4) x??

?X?0,x?X, (5) x???

?X?0,x?X,

(6) x???

?X?0,x??X,

2极限趋向的“过程性”

——若limf(x)?，则f(x)在x??时处处有定义 x??（命题A?B，则B?A）

故有：若f(x)在x??时至少一点无定义，

?limf(x)不存在。

x??1??sin?xsin()?x??（2016）求lim

x?01xsin()x1【分析】x??，xsin()?0

xx~0, sinx~x. 狗~0，sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())

xxx故原式=1

知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!

11【正解】当x=，|k|充分大，xsin()=0。还记

xkπ得极限的定义吗？x?0时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的

11点，例如取x=，此时xsin()

考研数学的命题特点

1. 基础性

【例一】极限定义

1、lim是什么？（lim是什么？）

x??n??①lim

x??1）“x??”存在六种情形 （1）x?x0

???0,0?x?x0??, （2）x?x0?

???0,0?x?x0??, （3）x?x0?

???0,0?x0?x??, (4) x??

?X?0,x?X, (5) x???

?X?0,x?X,

(6) x???

?X?0,x??X,

2极限趋向的“过程性”

——若limf(x)?，则f(x)在x??时处处有定义 x??（命题A?B，则B?A）

故有：若f(x)在x??时至少一点无定义，

?limf(x)不存在。

x??1??sin?xsin()?x??（2016）求lim

x?01xsin()x1【分析】x??，xsin()?0

xx~0, sinx~x. 狗~0，sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())

xxx故原式=1

知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!

11【正解】当x=，|k|充分大，xsin()=0。还记

xkπ得极限的定义吗？x?0时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的

11点，例如取x=，此时xsin()

2011考研基础班概率

主讲：马超

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考研数学基础班概率与统计讲义

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、概念网络图

古典概型????几何概型?????加法B?C???????减法B?C?基本事件????????????随机试验E??样本空间???P(A)?五大公式?条件概率B/C和乘法公式BC??

????随机事件A??全概公式????????贝叶斯公式????????独立性????贝努利概型??

2、重要公式和结论

m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m!nCm? 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!nPm?（1）排列组合公式 （2）加法和乘法原加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由nword文档 可自由复制编辑

理 （3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由

目 录

第一讲 函数 极限 连续性 (1)

第二讲 导数与微分 (7)

第三讲 微分中值定理及导数的应用 (11)

第四讲 一元函数积分学 (15)

第五讲 微分方程 (20)

第六讲 多元函数微分学 (23)

第七讲 重积分 (28)

第八讲 曲线积分与曲面积分* (23)

第九讲 无穷级数*△ (38)

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“○”，“△”.

2015考研数学基础班高等数学辅导讲义

1

第一讲 函数、极限、连续性

一、函数

1. 函数

(1)函数的定义

设数集D R ?，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，简记为(),y f x x D =∈，其中x

称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记为f D ，()f D 为值域，记为f R .

(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.

2. 函数的特性

(1)有界性：若?0>M ，对于?I x ∈，都有M x f ≤)(，则称)(x f 在I 上有界.

(2)单调性：设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ?，若对于?I x x ∈21,，当21x x <时，有)()(21x f x f <))()((21x f x f >，则称)(x f 在区间I

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重点题型---线性代数

重点题型1：行列式的综合计算 1．行列式的性质在计算中的应用

2．矩阵变换法在行列式计算（以及线性相关性） 中的应用

3．利用矩阵的性质计算抽象行列式 4．利用矩阵的特征值计算行列式 例：

?a11?设A??a21?a?31?A? B?a12a22a32A23a13??A11??a23?，B??A21?Aa33???31A12A22A32A13??A23?，则( )A33??

?B? B?A?C? B?A?D? B?0例：

已知?1,?2,?3为3维列向量，A???1?2?3?B???1??2??3,?1?3?2?9?3?1?4?2?16?3? 已知|A|??1，则|B|?____例：

设A，B为三阶矩阵，A与B相似，?1??1,?2?11为矩阵A的两个特征值，又B?1?，则3-1（A-3E）O1?1=____*OB?(?B)4例：

A，B均为n阶矩阵，满足A2?E，B2?E，|A|?|B|?0则|A?B|?____例：

设A为三阶正交矩阵，且A?0，及|B?A|??4则|E?AB|?____例：

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第一章 行列式 (3)

一．必备知识点 (3)

二．考点精析与技巧点拨 (7)

三．温故知新 (8)

第二章 矩阵 (17)

一．必备知识点 (17)

二．考点精析与技巧点拨 (21)

三．温故知新 (23)

第三章 向量和线性方程组 (45)

一．必备知识点 (45)

二．考点精析与技巧点拨 (48)

三．温故知新 (48)

第四章 特征值和特征向量 (85)

第五章 二次型 (111)

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重点题型---线性代数

重点题型1：行列式的综合计算 1．行列式的性质在计算中的应用

2．矩阵变换法在行列式计算（以及线性相关性） 中的应用

3．利用矩阵的性质计算抽象行列式 4．利用矩阵的特征值计算行列式 例：

?a11?设A??a21?a?31?A? B?a12a22a32A23a13??A11??a23?，B??A21?Aa33???31A12A22A32A13??A23?，则( )A33??

?B? B?A?C? B?A?D? B?0例：

已知?1,?2,?3为3维列向量，A???1?2?3?B???1??2??3,?1?3?2?9?3?1?4?2?16?3? 已知|A|??1，则|B|?____例：

设A，B为三阶矩阵，A与B相似，?1??1,?2?11为矩阵A的两个特征值，又B?1?，则3-1（A-3E）O1?1=____*OB?(?B)4例：

A，B均为n阶矩阵，满足A2?E，B2?E，|A|?|B|?0则|A?B|?____例：

设A为三阶正交矩阵，且A?0，及|B?A|??4则|E?AB|?____例：

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