函数的周期性经典例题

常见结论 (约定a>0)

函数关于某点对称（a,b）,f(x)=2b-f(2a-x) 函数关于x=a 对称 f(a+x)=f(a-x)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x?a)?－f(x)，或f(x?a)?f(x?a)??1f(x)(f(x)?f(－xa或f(x?a)?)1f(x)(f(x)?0)，或

,)则f(x)的周期T=2a； 0例1：设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x?4?)－f(x且)f(3)?5，则

f(－21?)______________，f(2005)?______________

例2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x?2)?1f(x)，当0≤x≤1，f(x)?2x，

则f(7.5)?______________

例3：设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)?f(x?2)， f(1)?2，则

f(2)?f(7?)______________

练习

1、函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1f?x?，若f?1???5,则

f?f?5???_______________

2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

1、教材分析 2、课时规划 3、教学目标分析 4、教学思路 5、教学过程设计 一、复习引入 二、知识串讲： 课程名称：函数的对称性与周期性 教学内容和地位： 内容： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 地位： 函数是整个高中数学的重点，而函数的性质则是函数主要的考点。 教学重点： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 教学难点：复合函数的对称性与周期性 课时：3课时 掌握函数单调性和奇偶性的定义，会利用函数的对称性与周期性求解题目。 1．导入 2.集合部分知识点串讲 3.例题精讲 4.易错点，考点，综合应用，典型图形 5.小结 必讲知识点 （一）同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对

第三节 函数的奇偶性和周期性

姓名： 日期： 函数的奇偶性与周期性作为函数的重要性质，几乎是高考的必考内容，常结合函数单调性，多作为小题在同一个题目中出现。具有灵活性强，辐射面广等优点。在学习过程中我们要很好的把握其性质特征，抓住本质，沉着应对。

★重难点突破★

1. 函数的奇偶性的判断：

可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?的对称性去判断函数的奇偶性.注意：

f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象f(x)①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数； ②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0；

③若在函数f(x)的定义域内有f(?m)?f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数； ④定义域对称是函数具有奇偶性的前提。如：函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为

[a?1,2a]的偶函数，则a?

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数

f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数 设

f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件 ★若

f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两

函数的奇偶性、周期性和对称性

函数的奇偶性、周期性和对称性的关系

055350 河北隆尧一中 焦景会

函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。

（2005年广东卷I）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上只有f(1)?f(3)?0。（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1 函数y?f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)。

证明：设P(x0,y0)是y?f(x)上任一点，则y0?f(x0)。由P关于直线x＝a的对称点为

函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识及习题分析 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数

y?f(x)，如果存在一个不为零的常数

T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数

f(?x)?f(x)

f(x)?f(?x)?0

y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)

y?f(x)上，通过f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)，

简证：设点(x1,y1)在

即点(2a?x1,y1)也在y

高三、一轮复习、数学、函数、教案,习题,学习资料,

课题：函数的奇偶性和周期性

辅导时间：2010,7辅导学生：黄文韬 辅导教师：汪飞

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 1． 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x T) f(x)，那么函数f(x)T

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 f( x) f(x) f( x) f(x) 0

f( x)f

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一、周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫

f(x)的最小正周期。

函数周期性的几个重要结论

1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b)?y?f(x)的周期为 3、f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期为 4、f(x?a)?1

f(x)?y?f(x)的周期为 5、f(x?a)??1f(x)?y?f(x)的周期为 二、奇偶函数：设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b?

①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数；②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数 3、函数的对称性

三、函数对称性的几个重要结论

（一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)?f(b?x