北航数值PPT

一 算法设计方案 1.初始化矩阵A。 2.将矩阵A拟上三角化

矩阵A的拟上三角化的算法如下： 记(1)若

A，并记

。对于r=1，2，全为零，则令

，n-2执行

，转（5）；否则转（2）。

(2)计算

(3)令(4)计算

，（若，则取），

，

，

，

，

(5)继续。

3. 对拟上三角化后的矩阵进行QR分解 记(1)若转（2）。

A，并记

。令全为零，则令

对于r=1，2，

,

，n-2执行 ，转（5）；否则

(2)计算

(3)令(4)计算(5)继续。

，

，（若，则取），

，

，

此程序执行完便可得到，。

4.对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解。 (1)使用矩阵的拟上三角化的算法把矩阵A精度水平和迭代最大次数L。 (2)记(3)如果（5）。

(4)如果m=1，则得到A的一个特征值如果m1，则转（3）。

，转（11）；如果m=0，则直接转（11）；

，令k=1，m=n。

，则得到A的一个特征值

，置m=n-1，转（4）；否则转化为拟上三角矩阵

；给定

(5)求二阶子阵的两个特征值的两个根和

。

和，即计算二次方程

(6)如果m=2，则得到A的两个特征值和(7)如果则转（8）。

，转（11）；否则转（7）。

，置m=m-2，转（4）；否

，则得到A的两个特征值和

(8)如果k=L，则计

北 京 航 空 航 天 大 学

数值分析大作业一

学院名称 自动化 专业方向 控制工程 学 号 ZY1403140 学生姓名 许阳 教

师 孙玉泉

日 期 2014 年 11月26 日

设有501?501的实对称矩阵A，

?a1bc??b??????A??c???c?

?????b???cba501???其中，ai?(1.64?0.024i)sin(0.2i)?0.64e(i?1,2,???,501),b?0.16,c??0.064。矩阵A的特征值为?i(i?1,2,???,501)，并且有

0.1i?1??2??????501,|?s|?min|?i|

1?i?5011.求?1，?501和?s的值。 2.求A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik(k?1,2,???,39)。

3.求A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。 一 方案设计

1 求?1，?501和?s的值。

?s为按模最小特征值，|?s|?min|?i|。可使用反幂法求得。

1?i?501 ?1，?5

《数值分析B》

第三次数值分析大作业

院系：04 能源与动力工程学院 姓名： 王 开 逍 学号： SY1104207

一．算法设计方案：

1、使用牛顿迭代法，对原题中给出的X(I)=0.08*I，Y(J)=0.5+0.05*J的11*21组X(I),Y(J)分别求得原题非线性方程组的一组解，于是得到一对和X(I),Y(J)对应的T(I),U(J).

2、对于已经求出来的U(I)，T(J)，使用分片二次代数插值法对原题中关于Z,T,U的数表进行插值，得到Z(I,J).于是产生了Z=F(X,Y)的11*21个数值解.

3、从K=1开始逐渐增大K的值，并使用最小二乘曲面拟合法对Z=F(X,Y)进行拟合，得到每次的K和精度TAO，当TAO

4、计算F(X*,Y*),P(X*,Y*)的值，以观察P(X,Y)逼近F(X,Y)的效果，其中X*(I)=0.1*I,Y*(J)=0.5+0.2*J.

二．源程序：

该计算程序使用FORTRAN语言编写

module linear3 !创建模块LINEAR3,用于被主程序调用 use imsl

implicit none

contains

real(kind=8) function max12(a,b,c,

《数值分析B》

第三次数值分析大作业

院系：04 能源与动力工程学院 姓名： 王 开 逍 学号： SY1104207

一．算法设计方案：

1、使用牛顿迭代法，对原题中给出的X(I)=0.08*I，Y(J)=0.5+0.05*J的11*21组X(I),Y(J)分别求得原题非线性方程组的一组解，于是得到一对和X(I),Y(J)对应的T(I),U(J).

2、对于已经求出来的U(I)，T(J)，使用分片二次代数插值法对原题中关于Z,T,U的数表进行插值，得到Z(I,J).于是产生了Z=F(X,Y)的11*21个数值解.

3、从K=1开始逐渐增大K的值，并使用最小二乘曲面拟合法对Z=F(X,Y)进行拟合，得到每次的K和精度TAO，当TAO

4、计算F(X*,Y*),P(X*,Y*)的值，以观察P(X,Y)逼近F(X,Y)的效果，其中X*(I)=0.1*I,Y*(J)=0.5+0.2*J.

二．源程序：

该计算程序使用FORTRAN语言编写

module linear3 !创建模块LINEAR3,用于被主程序调用 use imsl

implicit none

contains

real(kind=8) function max12(a,b,c,

北航研究生数值分析作业第二题：

一、算法设计方案

1. 按照题目给出的矩阵定义对矩阵A赋初值：对应的函数为a_init()； 2. 对矩阵A进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为

householder()；

3. 输出拟上三角化后的A：对应的函数为aout(int)；

4. 对拟上三角化后的矩阵A使用带双步位移的QR分解法逐次迭代（最大迭代

次数L=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵Mk和对Mk进行QR分解并得到Ak+1;

5. 输出QR分解过程完毕后的A及求得的特征向量：对应的函数为aout()和

eigenvalout()；

6. 对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应

的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(A-μI)=yk-1的程序段。这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数L设置为500； 7. 输出矩阵A的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。 算法编译环境：vlsual c++6.0 二、源程序如下：

#include #incl

北航数值分析实习题目第一题

《数值分析B》大作业一

ZY1515105 樊雪松

一． 算法设计方案：

1.矩阵A的存储与检索

将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] 。在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素aij的方法是：A的带内元素aij=C中的元素ci-j+2,j 。

2.求解λ1，λ501，λs

1、首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs；如果λ max>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。

2、使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出 对应的按摸最大的特征值λ’max， 如果λ max>0,则λ1=λ’max+p；如果λmax<0,则λ501=λ’max+p。

3、求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40 的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。

使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λ ik。

4、求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式detA。

cond（A）其中λ1和λn分别是矩阵 A的模最大和

北航数值分析实习题目第一题

《数值分析B》大作业一

ZY1515105 樊雪松

一． 算法设计方案：

1.矩阵A的存储与检索

将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] 。在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素aij的方法是：A的带内元素aij=C中的元素ci-j+2,j 。

2.求解λ1，λ501，λs

1、首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs；如果λ max>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。

2、使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出 对应的按摸最大的特征值λ’max， 如果λ max>0,则λ1=λ’max+p；如果λmax<0,则λ501=λ’max+p。

3、求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40 的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。

使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λ ik。

4、求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式detA。

cond（A）其中λ1和λn分别是矩阵 A的模最大和

牛人报告,供大家参考,非常鄙视抄袭者。P.S. 北航数值分析吕老师讲的非常好,鼓励大家选这门课,能够学到很多东西。有问题联系作者!

数值分析上机作业3——求解非线性方程组

以及二元函数的插值拟合

1. 算法设计

对于全部的插值节点(xi,yj),i 0,1,...,10,j 0,1,...,20，带入非线性方程组中，用Newton迭代法解非线性方程组，得到(ti,uj),i 0,1,...,10,j 0,1,...,20。对(ti,uj)，在二维数表中进行插值，采用分片双二次插值法。插值过程中，先选择分片区域的中心节点，在数表中的列记为tt(0:5)，行记为uu(0:5)，中心节点记为(a,b)，生成向量t_temp(0:2)，

t_temp(0) (ti tt(a))(ti tt(a 1))/((tt(a 1) tt(a))(tt(a 1) tt(a 1)))， t_temp(1) (ti tt(a 1))(ti tt(a 1))/((tt(a) tt(a 1))(tt(a) tt(a 1)))， t_temp(2) (ti tt(a 1))(ti tt(a))/((tt(a 1) tt(a 1))(tt(a 1) tt(a)))，

同理，生成向量u_

数值分析模拟试卷1

一、填空（共30分，每空3分） 1 设A???2 设

?11???，则A的谱半径?(a)?______，A的条件数cond1(A)=________. ?51??f(x)?3x2?5,xk?kh,k?0,1,2,?，则f[xn,xn?1,xn?2]＝________,

f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]＝________.

32??x?x,0?x?13 设S(x)??3，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则2??2x?bx?cx?1,1?x?2b=________,c=________.

4 设[qk(x)]k?0是区间［0，1］上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族，其中q0(x)?1，则

??xq(x)dx?________，q0k12(x)?________.

?10a???5 设A?01a，当a?________时，必有分解式????aa1??，其中L为下三角阵，当

其对角线元素Lii(i?1,2,3)满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设f(x)?x,x0?3219,x1?1,x2?, 44（1）试求f(x)在

一、问题分析及算法描述

编写程序，分别用列主元的Gauss消去法和LU分解法求解下面线型代数方程组AX=b的解，其中A为N×N矩阵，N=50，其中第i(i≥1)行、第j(i≥1)列元素

1i+j?1

aij=

，

右端向量b的第i(i≥1)个分量为

10i+j?1

bi= Nj=1

.

列主元素Gauss消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k次消元之前，先对增广矩阵 A(k),b(k) 作第一种行变换，使得aik中绝对值最大的元素交换到第k行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass消元法相同。列主元的Gauss消去法要求系数矩阵A非奇异。

(k)

LU分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A分解成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L为单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，则称为Doolittle分解；若L为下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称为Crout分解。若系数矩阵A