高中数学必修五解三角形试题

第1章 解三角形

§1.1正弦定理、余弦定理

重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sinA-sinC)＝(3a-b)sinB．

2

2

(1)求角C；

(2)求△ABC面积的最大值．

当堂练习：

1．在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )

(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC中，若2 ,则∠A的度数是 ( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )

(A) 15° (B) 30° (C) 45°

解三角形

一.三角形中的基本关系： (1)sin(A?B)?sinC,

cos(A?B)??cosC,

tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC(2)sin2?cos2,cos2?sin2,tan2?cot2

(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：

abc???2R．R为???C的外接圆的半径）

sin?sin?sinC正弦定理的变形公式：

b?2Rsin?，a?2Rsin?，c?2RsinC；①化角为边：

asin??②化边为角：2Rcb，sin??2R，sinC?2R；

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④sin??sin??sinCsin?sin?sinC．

两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理：

a?b?c?2bccos?222b?a?c?2accos?222c?a?b?2abcosC．

注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：

222b?c?acos?? 2bc222a?c?bco

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,

单元测评 解三角形

(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，共50分．

1．在△ABC中，a＝3，b＝1，B＝30°，则A＝( ) A．60° C．120°

B．30° D．60°或120°

ab3

解析：由sinA＝sinB知sinA＝2，又a＞b，∴A＝60°或120°. 答案：D

2．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形( ) A．无解 C．有两解

B．只有一解 D．解的个数不确定

解析：由A＝130°，而a＜b，可知无解． 答案：A

[来源:gkstk.Com]

3．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于( ) A．30° C．60°

B．60°或120° D．120°

ac3解析：由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有sinA＝sinC，故sinC＝2，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b＜c，不满足大边对大角，故C＝120°.

答案：D

4．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为( ) A．23 C．23或43

B.3 D.3或23

解三角形卷一

一．选择题

1．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为

A．2211 B．－ C． D．－ 3344

2、在△ABC中，已知a 4,b 6，B 60，则sinA的值为

A

B

C

D

3、在△ABC中，A:B:C 1:2:3，则sinA:sinB:sinC

A、1:2:3 B

、 C

、 D

、2

4、在△ABC中，sinA:sinB:sinC 4:3:2，那么cosC的值为

A、11711 B、 C、 D、 44816

5、在△ABC中，a 7,b 43,c ，则最小角为

A、 B、 C、 D、 12364

6、在△ABC中，A 60,b 16, 面积S ，则c

A、 B、75 C、55 D、49

7、在△ABC中，(a c)(a c) b(b c)，则A

A、

30 B、

60 C、120

综合练习2

一、选择题

221．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?b?2bc，sinC?3sinB，则

A? ( )

2?5???A．6 B．3 C．3 D．6

2

．

在

?ABC，内角A,B,C所对的边长分别为

a,b,c.asinBcosC?csinBcosA?1b,且a?b,则?B? 2A．2?5??? B． C． D．

36633．在△ABC中，一定成立的等式是（ ）

A. asinA?bsinB B. acosA?bcosB C. asinB?bsinA D. acosB?bcosA

4．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a?(b?c)cosC,则△ABC的形状是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

6．在△ABC中，内角A，B，

解三角形训练题

一 选择题：

1.已知△ABC中，A 30 ，C 105 ，b 8，则等于 （ ） A 4

B

2. △ABC中，B 45，C 60，c 1，则最短边的边长等于 （ ）

1A 3

B 2 C 2

D 2

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°

abc

4. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是 （ ）

A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形

2

5. △ABC中，B 60，b ac，则△ABC一定是 （ ）

A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形

6. .在 ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a 2bcosC，则此三角形一定是（

必修五解三角形章节总结与题型

章末整合提升

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.

b2 c2 a2

222222

2bc. 2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

111a b c

S(S a)(S b)(S c)23.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△==Sr(S=,r为abc

内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

CCA BA B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

必修五解三角形章节总结与题型

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

构成三角形个数问题

1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是(

) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2

2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是

3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T *

C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心

求边长问题

A. 5 B

5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________

三. 求夹角问题

6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4

10 10 3 10

5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b