截长补短法的经典例题及答案

《截长补短法》第二课堂活动方案

八年级数学组

八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：∠BAD+∠BCD=180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

EADB图1-1

C在Rt△ADE与Rt△CDF中，

AD?DE?DF ??AD?CD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，

B图1-2

FCDA即∠BAD+∠BCD=180°

例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

求证：CD=AD+BC.

分析：结

初中数学专题讲义：截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。?? 补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。??

例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DG?CE，交CA于G，GH?AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

CFDEHPGBA

方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想）

CFDEHPPCFDEHGBAGBMA

例2、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，?EAF=45。求证：EF=DE+BF

ABoFDEC

变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

ABoEDCF

变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

FABoDCE

变形c

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上

三角形全等之截长补短（讲义）

? 课前预习

1. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）已知线段a，b（a?b），作一条线段，使它等于a+b．

ab

（2）已知线段a，b（a?b），作一条线段，使它等于a-b．

ab

2. 想一想，证一证

已知：如图，射线BM平分∠ABC，点P为射线BM上一点， PD⊥BC于点D，BD=AB+CD，过点P作PE⊥BA于点E． 求证：△PAE≌△PCD．

EAPMB

DC

? 知识点睛

截长补短：

题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是

____________________________________

___________________________________________________．

? 精讲精练

1. 已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．

A12求证：AC=AB+BD．

B D A

21

BD

A

12

BD

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，

CE平分∠BCD． 求证：CD=AD+BC．

第八讲 倍长中线与截长补短

第八讲倍长中线与截长补短

一、学法建议

1、倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法，非常重要。每种方法都有它们适

用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。

2、几何题目书写要规范。在这一节中，我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另

外，倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式，我们也需要规范辅助线的描述方法。

3、几何题目需要大家多加练习，在掌握了方法之后，更要学会熟练应用、总结规律。

二、应掌握的基础知识点

1、基础知识复习回顾

全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；能够完全重合的顶点叫对应顶点；全等三角形的对应边上的高对应相等；全等三角形的对应角的角平分线相等；全等三角形的对应边上的中线相等；全等三角形面积和周长相等；全等三角形的对应角的三角函数值相等。

全等三角形的判定：

S.S.S.（Side-Side-Side）（边、边、边）：如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。

S.A.S.（Side-Angle-Side）（边、角、边）：如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角

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1 / 4

A

D

B

C

E

图2-1 截长补短法

人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .

求证：∠BAD +∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，

在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，

??

?==CD

AD DF

DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =

作业一 一、求一个任意边长的矩形面积。 #include void main() {int w,h,sum;

scanf(\sum=w*h;

printf(\}

二、求一个任意半径的圆的面积及周长。 #define PI 3.14159 #include void main() {float r,area,c; scanf(\area=PI*r*r; c=2*PI*r;

printf(\}??

三、已知：w=5, y=4, z=2, 求表达式：w*y/z的值，并输出。 ##include void main() { int w,y,z,r;

w=5; y=4; z=2; r=w*y/z;

printf(\}

作业二 一、从键盘上输入三个数，求出其中的最大值，并输出。 #include void main() {int a,b,c,max;

scanf(\max=a;

if(max

printf(\}??

。

二、求sin300+sin600+cos300+cos600之和。（注意：30*3.14159/180）

#include #define PI 3.14159 #include void ma

第二章作业

2-1 下表为某高速公路观测交通量，试计算： （1）小时交通量；（2）5min高峰流率；（3）15min高峰流率；（4）15min高峰小时系数。

解：（1）小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784

（3）15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 （4）15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S

2-2 对长为100m的路段进行现场观测，获得如下表 的数据，试求平均行驶时间t，区间平均车速，时间平均车速。

解：（1）时间平均车速：v??vni?75?...?67.9?72.16

16（2）区间平均车速：v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造，经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天（小汽

车），设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082，x为设计小时时位（x取30），取一条车道的设计能力为1500辆/小时（小汽车），试问该车道需修几车道？ 解：1、设计小时交通量系数：k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数：n?取n=

第二章作业

2-1 下表为某高速公路观测交通量，试计算： （1）小时交通量；（2）5min高峰流率；（3）15min高峰流率；（4）15min高峰小时系数。

解：（1）小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784

（3）15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 （4）15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S

2-2 对长为100m的路段进行现场观测，获得如下表 的数据，试求平均行驶时间t，区间平均车速，时间平均车速。

解：（1）时间平均车速：v??vni?75?...?67.9?72.16

16（2）区间平均车速：v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造，经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天（小汽

车），设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082，x为设计小时时位（x取30），取一条车道的设计能力为1500辆/小时（小汽车），试问该车道需修几车道？ 解：1、设计小时交通量系数：k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数：n?取n=

初二讲义课件-全等三角形中的截长补短

第九讲 全等三角形中的截

长补短

中考要求

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】 (06年北京中考题)已知 ABC中， A 60 ，BD、CE分别平分 ABC和. ACB，BD、CE交于

点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E

O

D

BC

初二讲义课件-全等三角形中的截长补短

【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上

专题3：截长补短法

【典例引领】

例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F。

（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE

【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠A