截长补短法的经典例题及答案
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截长补短法
《截长补短法》第二课堂活动方案
八年级数学组
八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:∠BAD+∠BCD=180°.
分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2 ∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
EADB图1-1
C在Rt△ADE与Rt△CDF中,
AD?DE?DF ??AD?CD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
B图1-2
FCDA即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.
分析:结
初中数学专题讲义:截长补短法
初中数学专题讲义:截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法:
(1)过某一点作长边的垂线
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。?? 补短法
(1)延长短边。
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。??
例1:在正方形ABCD中,DE=DF,DG?CE,交CA于G,GH?AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系
CFDEHPGBA
方法一(好想不好证) 方法二(好证不好想)
CFDEHPPCFDEHGBAGBMA
例2、正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,?EAF=45。求证:EF=DE+BF
ABoFDEC
变形a
正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?
ABoEDCF
变形b
正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?
FABoDCE
变形c
正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上
三角形全等之截长补短(讲义及答案)
三角形全等之截长补短(讲义)
? 课前预习
1. 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)已知线段a,b(a?b),作一条线段,使它等于a+b.
ab
(2)已知线段a,b(a?b),作一条线段,使它等于a-b.
ab
2. 想一想,证一证
已知:如图,射线BM平分∠ABC,点P为射线BM上一点, PD⊥BC于点D,BD=AB+CD,过点P作PE⊥BA于点E. 求证:△PAE≌△PCD.
EAPMB
DC
? 知识点睛
截长补短:
题目中出现__________________________时,考虑截长补短;截长补短的作用是
____________________________________
___________________________________________________.
? 精讲精练
1. 已知:如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C.
A12求证:AC=AB+BD.
B D A
21
BD
A
12
BD
2. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点E为AB边上一点,且DE平分∠ADC,
CE平分∠BCD. 求证:CD=AD+BC.
【预习系列】第八讲 倍长中线与截长补短
第八讲 倍长中线与截长补短
第八讲倍长中线与截长补短
一、学法建议
1、倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法,非常重要。每种方法都有它们适
用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。
2、几何题目书写要规范。在这一节中,我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另
外,倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式,我们也需要规范辅助线的描述方法。
3、几何题目需要大家多加练习,在掌握了方法之后,更要学会熟练应用、总结规律。
二、应掌握的基础知识点
1、基础知识复习回顾
全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等;全等三角形的对应边相等;能够完全重合的顶点叫对应顶点;全等三角形的对应边上的高对应相等;全等三角形的对应角的角平分线相等;全等三角形的对应边上的中线相等;全等三角形面积和周长相等;全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形的判定:
S.S.S.(Side-Side-Side)(边、边、边):如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话,则这两个三角形就是全等三角形。
S.A.S.(Side-Angle-Side)(边、角、边):如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角
人教版八年级上数学截长补短专题
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A
D
B
C
E
图2-1 截长补短法
人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD 中,BC >AB ,AD =DC ,BD 平分∠ABC .
求证:∠BAD +∠BCD =180°.
分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ,作DF ⊥BC 于点F ,如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ,∴DE =DF ,
在Rt △ADE 与Rt △CDF 中,
??
?==CD
AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°,∴∠BAD +∠DCF =180°, 即∠BAD +∠BCD =
C语言经典例题及答案
作业一 一、求一个任意边长的矩形面积。 #include
scanf(\sum=w*h;
printf(\}
二、求一个任意半径的圆的面积及周长。 #define PI 3.14159 #include
printf(\}??
三、已知:w=5, y=4, z=2, 求表达式:w*y/z的值,并输出。 ##include
w=5; y=4; z=2; r=w*y/z;
printf(\}
作业二 一、从键盘上输入三个数,求出其中的最大值,并输出。 #include
scanf(\max=a;
if(max
printf(\}??
。
二、求sin300+sin600+cos300+cos600之和。(注意:30*3.14159/180)
#include
交通工程经典例题及答案
第二章作业
2-1 下表为某高速公路观测交通量,试计算: (1)小时交通量;(2)5min高峰流率;(3)15min高峰流率;(4)15min高峰小时系数。
解:(1)小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784
(3)15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 (4)15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S
2-2 对长为100m的路段进行现场观测,获得如下表 的数据,试求平均行驶时间t,区间平均车速,时间平均车速。
解:(1)时间平均车速:v??vni?75?...?67.9?72.16
16(2)区间平均车速:v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造,经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天(小汽
车),设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082,x为设计小时时位(x取30),取一条车道的设计能力为1500辆/小时(小汽车),试问该车道需修几车道? 解:1、设计小时交通量系数:k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数:n?取n=
交通工程经典例题及答案
第二章作业
2-1 下表为某高速公路观测交通量,试计算: (1)小时交通量;(2)5min高峰流率;(3)15min高峰流率;(4)15min高峰小时系数。
解:(1)小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784
(3)15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 (4)15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S
2-2 对长为100m的路段进行现场观测,获得如下表 的数据,试求平均行驶时间t,区间平均车速,时间平均车速。
解:(1)时间平均车速:v??vni?75?...?67.9?72.16
16(2)区间平均车速:v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造,经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天(小汽
车),设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082,x为设计小时时位(x取30),取一条车道的设计能力为1500辆/小时(小汽车),试问该车道需修几车道? 解:1、设计小时交通量系数:k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数:n?取n=
初二讲义课件-全等三角形中的截长补短
初二讲义课件-全等三角形中的截长补短
第九讲 全等三角形中的截
长补短
中考要求
知识点睛
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.
全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】 (06年北京中考题)已知 ABC中, A 60 ,BD、CE分别平分 ABC和. ACB,BD、CE交于
点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.
A
E
O
D
BC
初二讲义课件-全等三角形中的截长补短
【例2】 如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上
专题03 截长补短法(解析版) 备战2022年中考几何压轴题分类导练
专题3:截长补短法
【典例引领】
例题:(2013黑龙江龙东地区)正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN 于点E,过点B作BF⊥MN于点F。
(1)如图1,点O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明。
【答案】图2结论:AF﹣BF=2OE,图3结论:BF-AF=2OE
【分析】(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF﹣EF=AE,整理即可得证;(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠A