初中二次函数对称轴分类讨论

《二次函数的图象》教案

一、教学目标

(一)知识目标

2y ax bx c的图象； 1．使学生会用描点法画出二次函数

2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)；

3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；

4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．

(二)能力目标

1．培养学生分析问题、解决问题的能力；

2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；

(三)情感目标

1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．

2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．

二、教学方法

教师采用比较法、观察法、归纳总结法

本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上2y

初中二次函数考题规律

例1 已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2图像经过原点，则m的值是

例2 如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y＝kx2＋bx－1的图像大致是（ ）

a b c d

例3 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝3(5)，求这条抛物线的解析式。例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。例5 已知⊿ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为(—1，0)，求 (1)B，C，D三点的坐标； (2)抛物线经过B，C，D三点，求它的解析式； (3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。例6 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再

正余弦函数图像的对称轴和对称中心

【基本结论】:

正弦曲线x y sin =，R x ∈的对称轴方程是2ππ+=k x ，Z k ∈;对称中心坐标为 （πk ，0），Z k ∈。

余弦曲线x y cos =，R x ∈的对称轴方程是πk x =，Z k ∈;对称中心坐标为 （2

π

π+k ，0），Z k ∈。

【典例分析】： 例1 求函数)32cos(3π-

-=x y 的对称中心和对称轴方程。 解: 由于函数

x y cos =的对称中心为（2ππ+k ，0），（Z k ∈）对称轴方程是πk x = 又由232πππ+=-

k x ，得1252ππ+=k x （Z k ∈） 由ππ

k x =-32，得62π

π

+=k x （Z k ∈）

故函数)32cos(3π

--=x y 的对称中心为（1252ππ

+

k ，3）（Z k ∈） 对称轴方程为62ππ+=

k x （Z k ∈） 例2 已知函数)2sin()(?+=x x f 的图像关于直线8π=x 对称，求?的值。

解: 由于函数x x f sin )(=的图像的对称轴方程为ππ

k x +=2（Z k ∈）

所以，函数)2s i n ()(?+=x x f 的图像的对称轴方程

二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般 一般式：y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

（2）两根 当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程

ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式

y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3） 顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)

知识点八、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小

4ac?b2b值），即当x??时，y最值?。

4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?围x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?b时，y最值2ab是否在自变量取值范2a4ac?b2?；若不在此范围

4a内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而

22增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax1?bx1?c；如2果在此范围内，y

二次函数求最值参数分类讨论的方法

分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．

一般地,对于二次函数y=a(x?m)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

t+s 2ts ② ① ③ ④ ①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数f(x)?x2?2ax?3在x?[0,4]上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：f(x)?x?2ax?3?(x?a)?3?a

∴此函数图像开口向上，对称轴x=a

①、当a＜0时，0

维普资讯ttp:h//ww.wcqvip.omcr囊 . 0 _矧 0 年1 0月耍上 __●月 半

焦椭聚圆线准对与轴称的交点的性质浙(江省杭师州范学院附属高级中学 31 003 0 ) 苏立 标我在教们研学究，中我们常常“钟情”于椭圆的焦中、点点等顶“点”性的质研究，而对圆椭线准

椭圆的切线的交点为 z(。, ,得切 )线方程为 y oq _。 y,

与称轴对交点性质的的讨论，却往往是教学研究的一“个盲点”,是一个“被遗忘的角落”聚集在，椭

一6

1又因，为切过点线 (一等，o ,)所 代人以切：± . e圆准线与对称轴交的点上有很多有趣性的，质耐线方程得： (等 C一 ￣)n 7 C o ×+ D。o一 1,即： 。z一 P(,± )故，线切率斜为 4一 - 2角分平线问题人寻味的性质蕴涵着椭圆丰富多彩几的何特征 .本文试图对椭圆准与线对称轴的交点性质作些一思考与总 .结 1定值问题性质 3:过椭圆+一 1( n>b>o)的左

一2 2

n。D性质1:设椭上圆 _+万 y1:( n>b>o ) 的左Ⅱ

焦点任意F一作条与两坐标轴不都直垂的A弦B ,若M为圆椭的准线左l对与称轴的点，交则

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焦椭聚圆线准对与轴称的交点的性质浙(江省杭师州范学院附属高级中学 31 003 0 ) 苏立 标我在教们研学究，中我们常常“钟情”于椭圆的焦中、点点等顶“点”性的质研究，而对圆椭线准

椭圆的切线的交点为 z(。, ,得切 )线方程为 y oq _。 y,

与称轴对交点性质的的讨论，却往往是教学研究的一“个盲点”,是一个“被遗忘的角落”聚集在，椭

一6

1又因，为切过点线 (一等，o ,)所 代人以切：± . e圆准线与对称轴交的点上有很多有趣性的，质耐线方程得： (等 C一 ￣)n 7 C o ×+ D。o一 1,即： 。z一 P(,± )故，线切率斜为 4一 - 2角分平线问题人寻味的性质蕴涵着椭圆丰富多彩几的何特征 .本文试图对椭圆准与线对称轴的交点性质作些一思考与总 .结 1定值问题性质 3:过椭圆+一 1( n>b>o)的左

一2 2

n。D性质1:设椭上圆 _+万 y1:( n>b>o ) 的左Ⅱ

焦点任意F一作条与两坐标轴不都直垂的A弦B ,若M为圆椭的准线左l对与称轴的点，交则

第1页（共5页） 二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a

ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：

（1）当[]

-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-

?b a m n 2，时 若-

m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]

m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形