二元关系与函数

第四章 二元关系和函数

第一节、集合的笛卡儿积与二元关系

有序对ordered pair定义:有两个元素x,y(允许x=y)按给定顺序排列组成

的二元组合称为一个有序对 ,记作<x,y>其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。例、平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 实数对,我们可用<x,y>表示。 注:有序对是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面 上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的 集合。 性质1:如x y即<x,y> <y ,x>。 性质2:<x,y>=<a,b>的充要条件是x=a,y=b.

n元有序对有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是 集合，a1 A1, a2 A2, …, an An是元素，定义有 序n元组(ordered n-tuple)为<, an>,注意这是一个归纳(inductive) 定义，将有序 n元组的定义归结为有序 n-1 元组 的定义。 显然有 =

平顶山学院毕业论文(设计)

引言

在日常生活中，关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念，我们都熟知关系一词的含义，例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系，如“4大于2”，“P在点a，b之间”.

在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念，广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系，数据库的数据特性关系，其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类，进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念，通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.

最基本的关系就是二元关系，就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如

B可以从事?，有三个人A,B,C和四项工作?，?，?，?.已知A可以从事?和?，

C可以从事?和?，那么人和工作之间的对应关系可以记作:

R???A,??,?A,??,?B,??,?C,??,?C,???.

这是人的集合?A,B,C?到工作的集合??，?，?，??之间的二元关系.

一 基础知识

定义1?? 设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

在实际问题中， 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关 系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理 而是具有某些特殊性质的关系。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系 上的关系 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 反对称性、传递性。 反对称性、传递性。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

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第三章 --- 二元关系上的关系R, 对A上的关系 ，若对任意的 上的关系 上自反的关系； 称R为A上自反的关系；若对任意的 为 上自反的关系 则称R为 上非自反的关系 则称 为A上非自反的关系 这个定义也可以写成： 这个定义也可以写成： 在A上是自反的 上是自反的 在A上是非自反的 上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

Functions 函数

都有 都有

,则 ，

离散数学

第三章 --- 二元关系如果R是 上自反的 上自反的， 如果 是A上自反的，

Functions 函数

则关系矩阵M(R)的主对角线元素都

离散数学二元关系习题及答案

【篇一：离散数学关系部分经典练习及答案】

t>一、单项选择题

1．设集合a = {1, a }，则a的幂集p(a) = ( )． a．{{1}, {a}}b．{?,{1}, {a}}

c．{?,{1}, {a}, {1, a }}d．{{1}, {a}, {1, a }}

2．若集合a的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）．

a．1024 b．10c．100d．1 7．集合a={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系r={x，y|x+y=10且x, y?a}，则r的性质为（ ）． a．自反的b．对称的

c．传递且对称的d．反自反且传递的

8．设集合a = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系r ={?a , b??a , b?a , 且a +b = 8}，则r具有的性质为（ ）． a．自反的 b．对称的

c．对称和传递的d．反自反和传递的

9．如果r1和r2是a上的自反关系，则r1∪r2，r1∩r2，r1-r2中自反关系有（ ）个． a．0 b．2c．1d．3

10．设集合a={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系 r = {?1 , 1?，?2 , 2?

《离散数学》题库答案 集合论与二元关系

一、选择或填空

1. 设A={a, {a}}，下列命题错误的是（ ）。

（1） {a} P(A) （2） {a} P(A) （3） {{a}} P(A) （4） {{a}} P(A) 答：（2）

2. 在0（ ）Ф之间写上正确的符号。 （1）= （2） （3） （4） 答：（4）

3. 若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（ ）。 答：32

4. 设P={x：(x+1)2 4且x R}，Q={x：5 x2+16且x R}，则下列命题哪个正确（ ）？

（1）Q P （2）Q P （3）P Q （4）P=Q 答：（3）

5. 下列各集合中，哪几个分别相等？（ ） （1）A1={a, b} （2）A2={b, a} （3）A3={a, b, a} （4）A4={a, b, c} （5）A5={x：(x-a)(x-b)(x-c)=0} （6）A6={x：x2-(a+b)x+ab=0}

答： A1=A2=A3=A6，A4=A5

6. 若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？（ ） （1）A=Ф （2）B=Ф （3）A B （4

用C程序实现对二元关系性质的判定

ＩＴ技术

数字技术与应用

用Ｃ程序实现对二元关系性质的判定

岳晓红

（陇东学院信息工程学院　　甘肃庆阳　　７４５０００）

摘　要：本文利用Ｃ语言程序实现了对离散数学中二元关系的５种性质的判断。在计算机相关专业的教学中可以培养学生的理论和计算机操作相结合的学习能力。

关键词：Ｃ语言　　离散数学　　二元关系中图分类号：Ｏ１４１．１２文献标识码：Ａ文章编号：１００７－９４１６（２０１１）０２－００７１－０２

Ｔｏ　Ｊｕｄｇｅ　ｔｈｅ　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　Ｂｉｎａｒｙ　Ｒｅａｌｔｉｏｎｓ　ｂｙ　Ｃ　ｐｒｏｇｒａｍ

Ｙｕｅ　Ｘｉａｏｈｏｎｇ

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　　Ｑｉｎｇｙａｎｇ　ｇａｎｓｕ　　７４５０００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｓｏｍｅ　ｗａｙｓ　ｔｏ　ｊｕｄｇｅ　ｔｈｅ　５　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，　ａｎｄ　ｔｈｅｙ　ｃａｎ　ｂｅ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｃｕｌｔｉｖａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｂｙ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ　ｔｈ