pr临时插值的贝塞尔曲线

贝塞尔曲线及插值

2010-07-01 21:41

贝塞尔曲线介绍可参考中文维基百科，图文并茂，这里就不啰嗦了 http://zh.wikipedia.org/zh-cn/è2?è?2??2?·?

这里主要讲一下如何在excel及vb中实现贝塞尔曲线插值，程序来源于互联网（程序作者: 海底眼(Mr. Dragon Pan在excel中用宏实现)，本文作为少量修改，方便在vb中调用，经运行证明是没错的，下面程序可作成一个模块放到vb或vba中调用：

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' Excel的平滑线散点图，可以根据两组分别代表X-Y坐标的散点数值产生曲线图 ' 但是，却没有提供这个曲线图的公式，所以无法查找曲线上的点坐标 ' 后来我在以下这个网页找到了详细的说明和示例程序

' ..............................................................................

'

贝塞尔曲线

通过过附录里的三篇论文我们对贝塞尔曲线有了一定的了解，以前所认为的贝塞尔曲线(Bézier curve)只不过是一种图形，通过者三篇论文的学习，让我的观点有所改变，我不再只简单的那样认为，原来贝塞尔曲线(Bézier curve)在绘图界有着神奇的地位，一下就是我通过这几篇文章的学习对贝塞尔曲线(Bézier curve)的了解，那么下面接让我们见识一下它吧！

贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。贝赛尔曲线的每一个顶点都有两个控制点，用于控制在该顶点两侧的曲线的弧度。它是应用于二维图形应用程序的数学曲线。曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。二十世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线(Bézier cu

根据bezier定义

% Bezier Square Curve Ploter

% This file will create a Bezier square curve and dispay the plot. % The parameter is the Vertex matrix. function [X] = bezier2(Vertex)

BCon=[1 -2 1;-2 2 0;1 0 0]; % constant Matrix for i = 1:1:50 par = (i - 1)/49;

XY(i,:) = [par^2 par 1]*BCon*Vertex; % create data end

% display the vertices and the curve using Matlabs built-in graphic functions clf % this will clear the figure plot(Vertex(

赛贝尔函数

贝塞尔函数

1.贝塞尔方程及解:

令u?,?,??=R?,?????????为分离变量的解，则R?,?满足本征值问题的方程，

?2R1dydR?2m2? 2?????2?R?0 （17.1.1）

?dxd??其中?2是分量的本征值问题的本征值。

R()?R()?y(x);m?? 则上面方程可以变换：若作变换x??(或x??)；x?x2y//?x2y/?(x??2)y?0 （17.1.1a）

当??整数时，贝塞尔方程的通解为：

y(x)?AJ?(x)?BJ??(x)

当?=整数时，由于J?m=(?1)mJm(x)，因此通解为 y(x)?AJm(x)?BYm(x)

式中A与B为任意常数，Jm(x)与Ym(x)分别定义为 m阶第一类与m阶第二类贝塞尔函数。

2.贝塞尔方程的的级数解

二阶线性齐次常微分方程x2y''?xy'?(x2??2)y?0,0?x?b 为贝塞尔方程

现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式

由

1p(x)=

x?2,q(x)=1-2可见，x=0是p=（x）的一阶极点，是q(x)

x第 1 页 共 7 页

赛贝

贝塞尔函数在通信、冶金、磨具等行业中应用广泛,基于贝塞尔函数的信号处理也是毕业论文中的一大特色

第5章 贝塞尔函数

在第2章中,我们应用分离变量法解决了一些常见的定解问题.在考虑圆盘在稳恒状态下温度的分布时,我们采用了极坐标系,经过分离变量得到了变系数的常微分方程—欧拉方程.若我们考虑圆盘在瞬时状态下的温度分布,则得到的是一种特殊类型的常微分方程—贝塞尔方程.也就是说,在应用分离变量法求解不同的数学物理方程时,会导出不同形式的常微分方程边值问题.而其中一部分常微分方程的解,一般情况下不能用初等函数表示,这样就引如了“特殊函数”.

本章首先在柱坐标系下对偏微分方程进行变量的分离,导出贝塞尔方程;然后讨论了这个方程的解法及解的有关性质,并引入贝塞尔函数;最后在来介绍贝塞尔函数在解决数学物理方程中的有关定解问题中的一些应用.

5.1 贝塞尔方程及求解

对于圆柱形区域内的定解问题,常把泛定方程在柱坐标系下给出,这时区域的边界表示起来将非常简洁,有利于解题.

考虑圆柱的冷却问题:设有一根两端无限长的圆柱体,半径为R，已知初始温度为

(x,y),表面温度为零,求圆柱体内部温度的变化规律.

以u表示圆体内部的温度,由于初始温度不依赖于z,因此在z轴方向没有热量的流动,问

服 装

用贝塞尔曲线拟合服装结构

曲线的处理方法

宋 琨 张渭源 东华大学服装学院(中国)

端点和连接点);

-为了保证曲线在相交处满

摘 要:尽管服装结构曲线类型很多,形态差别很大,但由于它们都要遵循服装结构设

计的规律,因此具有许多共同特征,这使得用一种计算机曲线模型来拟合它们成为可能。本文通过分析服装结构曲线的这些共同点,讨论了如何用三次贝塞尔曲线对服装结构设计中可能遇到的各种类型的曲线,并概括了拟合这些曲线的一般处理方法。

关键词:服装结构曲线,拟合,三次贝塞尔曲线

足所设计的角度,曲线上的端点和连接点处的切矢量的方向一般都是确定的,或者可通过一定的方法来确定或限制在有限的范围里;

-曲线必须光滑圆顺。下面以一片袖的袖山弧线来说明以上几个特点。如图5,袖山弧线依次通过P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7各点,是一条光滑圆顺的曲线,P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的相对位置决定曲线的大致走向。曲线在各点处的切矢量都有一定的要求,如在P1处的切矢量与直线段P1P3平行,在P3的切矢量的方向必须是水平的。

用三次贝塞尔样条曲线(以下简称

1 引言

用计算机绘制服装结构曲线,实际上是将事先写好的程序的语句按照顺序执行,它比手

贝塞尔函数 柱函数

第十四章 贝塞尔函数 柱函数

贝塞尔函数(也称为圆柱函数)是现代科学技术领域中经常遇到的一类特殊函数．1732 年伯努利研究直悬链的摆动问题，以及 1764 年欧拉研究拉紧圆膜的振动问题时，都涉及到 这类函数．1824 年德国数学家贝塞尔（F.W.贝塞尔, 

1784~1846）在研究天文学问题时又遇到了这类函数，并首次系统地研究了这类函数．因此 人们称这类

函数为贝塞尔函数，并被广泛应用到数学、物理、光通信和其它科 学技术领域之中．

在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得 到了一种特殊类型的常微分

方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝 塞尔函数．贝塞尔函数具有

一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交 完备性．

14.1 贝塞尔方程及其解

14.1.1 贝塞尔方程

拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程，由于贝塞尔方程的 普遍性，我们还能从其它典型的数学物理定解问题来导出贝塞尔方程的一般形式． 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 

ì utt=a2(uxx+uyy )   

C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程

的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。有 第一类柱贝塞尔函数Jp(z)

p为整数n时，J?n=(?1) nJn； p不为整数时，Jp与J?p线性无关。 第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)

n为整数时N?n=(?1) nNn。

第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)： 第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z)

第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z)

大宗量z??

小宗量z?0

，为欧拉常数

见微波与光电子学中的电磁理论 p668

Jn(z)的母函数和有关公式

函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到

在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得

又可得

如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式

Jn(z)的零点?ni

J’n(z)的零点?ni

半整数阶贝塞尔函数

Jn+1/2(z)的零点?np

J'n+1/2(z)的零点?'np

D．朗斯基行列式及其它关系式

E．修正贝塞尔函数有关公式

贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修

Study of the propagation properties of

the Bessel beams

贝塞尔光束传播性质的研究

一级学科

学科专业 作者姓名 马秀波 指导教师

所在学院年 月

1

中文摘要

关键词：

2

ABSTRACT

n阶第一类贝塞尔函数Jn(x)

第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数Yn(x) 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，Hn(1)(x) 第一类变形的贝塞尔函数In(x)

开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）

第五章 贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所

以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

2??