汤家凤考研高数基础讲义

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考研数学高数基础知识

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新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学

2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(四至五章)

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dydx?p(x)Q(y)dy(Q(y)?0)

2、齐次方程：

?y??f?? dx?x?三、一阶线性方程及其推广

1、2、

dydxdydx?P(x)y?Q(x) ?P(x)y?Q(x)y?(??0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?x?p?y??P?y

2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,?Q?x?但存在R(x,y)，使?(RQ)?x??(RP)?y

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五、差分方程（数学三）

(李正元考研高数基础讲义)

新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

第四章 微分、中值定理及其应用

§1一元函数微分学中的基本定理 ——中值定理

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(李正元考研高数基础讲义)

新东方高等数学笔记（主讲：李正元）

第四章微分、中值定理及其应用

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(李正元考研高数基础讲义)

新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

§2 微分学理论的应用

——利用导数研究函数的变化

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GCT数学.微积分部分

第1章函数的极限与连续

1.1函数 一 函数

1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数x?D，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法

3 基本初等函数

二 特性

1函数的有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果?M?0，使得对?x?I，有f(x)?M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。

2函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义,如果?x,x?I且x?x时，有

f(x)?f(x)）则称f(x)在区间I上是单调增（或f(x)?f(x（或)单调减）的。 3函数的奇偶性

设函数f(x)的定义域X关于原点对称，（即若x?X，则必有

，如果?x?X，有f(?x)?f(x)成立，则称f(x)为偶函数，?x?X）

如果?x?X，有f(?x)??f(x)成立，则称f(x)为奇函数。 4函数的周期性

设函数f(x)的定义域是X，如果?常数T?0，使得对?x?X，有x?T?X，且

f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，使上式成立的最小正数T称为f

万学·海文春季基础班讲义－高等数学

62第六讲 向量代数与空间解析几何（数一）

一、知识网络图

二、重点考核点

这部分的重点是：

①向量概念与向量的各种运算，特别是它们的计算与应用． ②求直线与平面方程的方法，判断平面、直线间相互关系的方法．

§1 向量代数

向量的加（减）与数乘向量．

向量的数量积（又称点积，内积）：

定义：两向量,a b 的数量积?是一个数，且||||cos a b a b θ=? ，其中θ是与的夹

角．坐标表示：若＝{a 1，a 2，a 3}，={b 1，b 2，b 3}，

曲面与曲线概念及表示法

二次曲面的标准方程及其图形

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 63 则·=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．

特征性质：a ⊥b ?a ·b =0，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 = 0

主要应用： ①判定两向量垂直； ②求两向量、两直线、两平面以及直线与平面间的夹角； ③建立平面的点法式方程． 向量的向量积（又称叉积，外积）： 定义：两向量,a b 的向量积×是一个向量，其模θsin ||||||=×，其中θ是与的夹角，又×同时与和都垂直且、、×构成右手系．

总体说明：与高联专职教师交流后，计划在年里复习完高数，高数上下册共12章，这样分下来的话内容少的每周一章，内容多，需要花时间的重点章两周复习一章，高数以前基本都学习了一次，这次复习请你把教材仔细读一遍，边看边思考，理清头绪，概念的引出，定理、公理的推导证明都是要看的地方，书上的例题要看懂，及时做课后习题来巩固。

之前准备根据大家课表的空余时间，安排几点几分到几点几分看哪一节，但我想了下，这样不太合理，跟机器似的，可能我估计这部分完成的时间跟你的实际完成时间有差距，加上个人作息习惯和效率的因素，这样做可能误导你了。因此，我给以周来安排复习工作，具体的时间分配你自己来安排，但自己要大体有个度，比如这章6节，那么周三晚上之前应该就是完成3节这个样子，考研是为自己考，这个自觉能力应当具备，要这么小的时间这么明确的任务也安排不好，我给你安排了几点几分到几点几分看什么的话，你落实也是形式，效果值得商榷。

要是你自制力很不好，需要我根据你课表来安排的话，跟我回复下，下次我具体安排。

要求：复习的内容课本要精看一遍，适当的做点笔记，遇到问题先要自己思考，不会的再联系答疑，高联有个QQ在线答疑的，课后要求做的题要动手做，不能看看好像会就算了，眼高手低是大忌，为

第二讲: 单元一: 定义求导

导数及应用

f(x)cosx 1

[ [f(x)cosx]'x 0 2]

x 0x

f(x)(cosx 1) f(x) f(0)

[lim 1 0 f'(0) 2]

x 0x

1. 设f(0) 1,f'(0) 2, 求: lim

2. 设f x 可导, f 0 1,f' 0 0, 求: lim

x 0

f(sinx) 1

lnf(x)

[lim

x 0

f(sinx) f(0)x 0sinx

1]

sinx 0lnf(x) lnf(0)x

3. 设lim

x a

f(x) bsinf(x) sinb. A, 求: lim

x ax ax a

sinf(x) sinbf(x) b

Acosb]

x af(x) bx a

[lim

4. 设f(x 1) af(x),f'(0) b(a,b 0), 求: f'(1). [f'(1) lim

x 0

f(x 1) f(1)a[f(x) f(0)]

lim ab] x 0xx

5. 设f(1 x) 3f(1 x) 8x(1 sinx), 并且f(x)可导, 求f'(1).

[f(1) 0,f'(1) 3f'(1) lim

x 0

8x(1 sinx)f(1

第六讲 几类常微分方程的求解方法7-1 一阶微分方程的解法 (P411) 一. 方法指导1. 标准类型方程的解法

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤(1) 可分离变量方程

解法: 分离变量 , 两边积分(2) 齐次方程

解法: 令

化成可分离变量型

(3) 一阶线性方程 解法: 常数变易法或代公式

(4) 贝努力方程 解法: 令 化成线性方程 .

(5) 全微分方程

解法: 求

Q P x y通解为

的原函数

二. 非标准类型方程的解法1、 变量代换法 转化为标准类型求解

例如, 方程

a b a x b y c 0 的根 (h , k ) , 若 , 先求 a1 b1 a1 x b1 y c 1 0 作变换 x X h , y Y k , 则原方程化为 dY a X bY (齐次方程) d X a1 X b1Y a b 若 , 作变换 v a x b y , 化成可分离变量 a1 b1方程.4

2、 积分因子法

不是全微分方程选择积分因子

( x, y)

P d x Q d y 0 为全微分方程常用的微分倒推式有

1) d x d y d ( x