离散逻辑符号

第7章 门电路与逻辑代数

7.1 学习要求

（1）了解数字电路的特点以及数制和编码的概念。

（2）掌握与门、或门、与非门、异或门的逻辑符号、逻辑功能和表示方法。 （3）了解TTL和CMOS门电路的特点以及三态门的概念。

（4）掌握逻辑代数的基本运算法则、基本公式、基本定理和化简方法。

（5）能够熟练地运用真值表、逻辑表达式、波形图和逻辑图表示逻辑函数。

7.2 学习指导

本章重点：

（1）各种门电路的逻辑功能及应用。

（2）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。 （3）逻辑函数的化简及变换。 本章难点：

（1）集成门电路逻辑功能的分析。

（2）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。 （3）逻辑函数的化简及变换。 本章考点：

（1）各种门电路的逻辑功能及应用。

（2）逻辑函数各种表示方法之间的相互转换。 （3）逻辑函数的化简及变换。 7.2.1 数字电路概述 1．数字信号与数字电路

在数值上和时间上均连续的信号称为模拟信号，对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。在数值上和时间上均不连续的信号称为数字信号，对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。

数字电路的特点：

（1）输入和输出信号均为脉冲信号，一般高电平用1表

ahmvla离散数学符号表

-+

懒惰是很奇怪的东西，它使你以为那是安逸，是休息，是福气；但实际上它所给你的是无聊，是倦怠，是消沉;它剥夺你对前途的希望，割断你和别人之间的友情，使你心胸日渐狭窄，对人生也越来越怀疑。

—罗兰

《离散数学》符号表

全称量词（任意量词）

存在量词

├ 断定符（公式在L中可证）

╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）

┐ 命题的“非”运算

∧ 命题的“合取”（“与”）运算

∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算

→ 命题的“条件”运算

命题的“双条件”运算的

A B 命题A与B等价关系

A B 命题A与B的蕴涵关系

A 公式A的对偶公式

wff 合式公式

iff 当且仅当

V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ）

↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）

↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）

□ 模态词“必然”

◇ 模态词“可能”

φ 空

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第二章 谓词逻辑首先看看著名的“苏格拉底三段论式”:

Every man is mortal.Socrates is a man. Socrates is mortal. 按命题形式化方法，可翻译为 P,Q R 这个形式化结果无法利用命题逻辑推理证明。

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又如 x+y >6 不是命题，但是对任何具体的 实数x和y,它都有确定的真值。 命题逻辑的局限性

----难以表达命题之间的内在联系；----难以表达局部和全局的概念； ----没有考虑命题与“范围”之间的联系。

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第一节 量词化逻辑一、谓词：描述客观对象的性质或客观对象之间关系的断语。 例：梨花是白的，桃花是红的。 小张长得比小刘更结实。 1。谓词的形式化 1)个体域： 又叫论域，由客体构成的集合， 可表示为 ={a1,a2, ,an}。

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2)客体：一般用 x,y,z等表示客体变元，用 a,b,c或具体的客体符号等表示客

体常元。3)谓词标识符：表达谓语的符号串，常用

大写字母串表示，如A,B等表示。4)谓词：由谓词标识符和客体等构成的符

号串。如 A(a,x,f(x) )

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例：令W(x):x是白的；

p:梨花，则“梨花

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一部分

数理逻辑

2013年8月22日星期四

有一逻辑学家误入某部落，被拘于牢

狱，酋长欲放行，他对逻辑学家说： 逻辑学家手指一门问身旁一名战士说： 这扇门是死 今有两门，一为自由，一为死亡， 你可任意开启一门。为协助你脱逃， 今加派两名战士负责解答你所提的任 何问题。惟可虑者，此两战士中一名 天性诚实，一名说谎成性，今后生死 由你自己选择。 逻辑学家沉思片刻，

亡门，他(指另一名战士)将回答‘是’,对吗？

即向一战士发问，然后开门从容离去。

2013年8月22日星期四

P:被问战士是诚实人。 Q:被问战士的回答是 是 R:另一战士回答的是 是 S:这扇门是死亡门。

P T T F

Q T F F

R T F T

S F T F T

F T F 当被问人回答 是 时，此门是生门

当被问人回答 否 时，此门是死门

S (P∧ Q) ∨( P∧ Q)

(P∨ P) ∧ Q Q (S的真值总与Q的真值相反)

逻辑科学，它分为：

2013年8月22日星期四

逻辑，是研究思维形式及思维规律的科学,也把它称为研究推理的 概念是思维的基本单位 由一个或几个判断推出 通过概念对事物是否具有

辨证逻辑——是研究人的思维中的辩证法。

另一判断的思维形式， 某种属性进行肯定或否定

《数理逻辑》课程作业参考答案

周晓聪(isszxc@89d6bc01b52acfc789ebc917)

中山大学计算机科学系,广州510275

2010年1月11日

第一章命题逻辑的基本概念

作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：

(1)火星上有生命存在.

(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！

(6)结果对吗？

(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：

(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；

(2)“12是质数”是命题，其真值为假；

(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；

(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；

(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；

(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；

(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；

(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：

(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)

命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点内容之一。该文对在命题逻辑推理证明题中常用的证明方法和技巧进行了分析和探讨,以加深学生理解,以便灵活使用。

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离散数学逻辑推理证明方法的探讨康鹏(放军电子 T程学院，徽合肥 2 0 3 解安 3 0 7)

摘要：命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点内容之一。该文对在命题逻辑推理证明题中常用的证明方法和技巧进行了分析和探讨，以加深学生理解，以便灵活使用。 关键词：离散数学；命题逻辑；推理；明方法证中图分类号： 4 文献标识码： 文章编号：0 9 3 4 (0 13— 9 8 0 G6 2 A 10— 0 42 1)4 8 8 - 2Dic

第八讲 离散最值与逻辑推理问题

在数学竞赛中，常会出现在自然数范围内变化的量的最值问题，称之为离散最值问题。解决这类非常规问题一般无统一的方法，对不同的问题要用不同的策略与方法。就具体的问题而言，大致可从极端分析、推理分析、枚举比较和构造估计来着手分析。 一、极端分析

1．一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能打开所有的锁？

2．一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相等，红球上标有“4”，黄球上标有“5”，绿球上标有“6”。小明从袋中取出8个球，它们的数字和为39，问其中最多可能有多少个球是红球？

3．红星小学的礼堂共有座位24排，每排有30个座位，全校有650名同学到礼堂开会，那么至少有多少排座位上的学生人数一样多？ 二、推理分析

1．形如19931993??1993??????520，且能被11整除的最小的n是多少？

n个19932．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数。已知ABCD＋EFG＝1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值的差是多少？

3．命题委员会为5∽10年级准备数学奥