求矩阵的最小多项式

２００６年第８卷第３期

总第７８期

巢湖学院学报

ＣｈａｏｈｕＣｏｌｌｅｇｅＪｏｕｒｎａｌ

Ｎｏ．３．，Ｖｏｌ．８．２００６ＧｅｎｅｒａｌＳｅｒｉａｌＮｏ．７８

矩阵的最小多项式的进一步讨论

贺加来

（巢湖职业技术学院，安徽

巢湖

２３８０００）

摘要：本文介绍最小多项式的求法，以及利用最小多项式解决相关问题。

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２－２８６８（２００６）０３－０１５７－０３

关键词：矩阵；最小多项式；最小多项式的应用中图分类号：Ｏ２４１．６

我们知道，矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少，但此内容是重要的。本文就此对矩阵的最小多项式的求法及其应用作进一步的讨论，供参考。

１最小多项式的求法。

在有些问题中，常常要求已知矩阵的最小多项式，下面给出两种求法。

２

!０－λ－λ＋２３λ－３$"%１００→"%

＋１λ－１&０－λ#

２

!０－λ＋２λ－１３（λ－１）$"%１００→"%

λ－１&００#

１．１利用不变因子求最小多项式

我们知道，方阵Ａ的最小多项式ｍＡ（λ）等于Ａ的特征矩阵λＥ－Ａ的最后一个不变因子Ｅｎλ）。因此，当我们把λＥ－Ａ化为标准形后（或能求出）Ｅｎ（λ）），就可求出Ａ的最小多项式。

Ａ

Ａ

!０－（λ－１）２

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3

第九章 多项式矩阵的性质定义： 定义： 已知 A ∈ Cnn ×n

多项式矩阵

和关于变量 x 的多项式n 1

f ( x ) = an x + an 1 x那么我们称n

+ L + a1 x + a0

f ( A) = an A + an 1 A为 矩阵多项式。 A 的矩阵多项式。

n 1

+ L + a1 A + a0 I

阶矩阵， 为其Jordan标准形，则 标准形， 设 A为一个 n 阶矩阵，J 为其 标准形

A = PJP = Pdiag( J 1 , J 2 ,L , J r ) P

1

1

= Pdiag( J 1 ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J r ( λr )) P于是有

1

f ( A ) = a n A + a n 1 An

n 1

+ L + a1 A + a 0 I 1

= an ( PJP = P (an Jn

1

) + a n 1 ( P J Pn 1

)

n 1

+ 1

L + a1 ( P J P = Pf (J )P 1

) + a0In 1

+ a n 1 J

+ L + a1 J + a 0 I ) P 1

= P d ia g ( f ( J 1 ) , f ( J 2 ) , L , f (

第4章 《多项式的运算》上课教案

第1课时

课题：4.1多项式的加法和减法(1) 教学目的：

1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程：

一、知识准备：

1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。

2、单项式

?2xy332的系数是?2、次数是 3 。

323、多项式3m?2m?5?m是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+

篇一：多项式乘多项式试题精选(二)附答案

多项式乘多项式试题精选（二）

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片 _________ 张．

2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=．

3．若（x+p）（x+q）=x+mx+24，p，q为整数，则m的值等于

4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片 _________ 张，B类卡片 _________ 张，C类卡片 _________ 张．

2

5．计算：

（﹣p）?（﹣p）=

（6+a）= _________ ．

6．计算（x﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x项，则常数m的值为 _________ ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖

2223=2xy?（）=﹣6xyz；（5﹣a）2

8．若（x+5）（x﹣7）=x+mx+n，则m=，n=．

9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是

10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米

实验题目 用递归与非递归方式求Hermite多项式的值 实验日期 2013年6月16日 一、 实验目的

本实验的目的是进一步理解递归设计与调用，理解函数递归调用的执行过程，比较递归与非递归方法，从中体会递归的优点。 二、实验问题描述

Hermite本身就是通过递归定义的，当n等于0或1时，问题的答案可以直接计算得到；当n>1时，当前问题的答案Hn(x)需要Hn-1(x)和Hn-2(x)的结果才能算出。

三、实验问题问题

递归是程序调用自身的编程，一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，他通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大减少了程序的代码量。

四、实验结果（程序）及分析

//ex5_17.cpp:编写输出Hermite多项式对应变量x的前n项值得递归函数

#include

float P(int,float); //函数原型 int main()

{ int n; float x;

cout<<\ cin>>n>>x;

cout<<\ cout<

float P(int n,float x) //

对一类复系数多项式分解求复根

崔尚菲

摘 要：应用本原单位根的思想把复系数多项式分解成一次因式的乘积。复系数多项式求根方法各式各样，对不同类型的多项式有不同的处理方法，大部分采用的计算机的数值计算方法，优缺点不一而足。对多项式的求根问题，在工学、理学、经济学等方面都有重要的作用。

关键词：本原单位根 复系数多项式 一次因式

由代数基本定理可以证明，任意一个n次复系数多项式f(x)，n?0，则f(x)恰有n个复数根c1，c2，c3，而且f(x)?a0(x?c1)(x?c2)?(x?cn).然而具体?cn，多项式有专门的方法进行分解.本文针对一种特殊的复系数多项式，从5道题目下手给出了这一特殊类型题目的一般性解法.

一、论文背景介绍

1.1代数基本定理

代数基本定理（任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根， n ?1．）是人们早就知道的.直到1797年，二十岁的德国大数学家Gauss才第一个给出证明．后来 Gauss又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它为代数基本定理．

1.2本原单位根

由高等代数的知识我们知道，在方程x?1中，其本原单位根可定义为

2k?ine；

对一类复系数多项式分解求复根

崔尚菲

摘 要：应用本原单位根的思想把复系数多项式分解成一次因式的乘积。复系数多项式求根方法各式各样，对不同类型的多项式有不同的处理方法，大部分采用的计算机的数值计算方法，优缺点不一而足。对多项式的求根问题，在工学、理学、经济学等方面都有重要的作用。

关键词：本原单位根 复系数多项式 一次因式

由代数基本定理可以证明，任意一个n次复系数多项式f(x)，n?0，则f(x)恰有n个复数根c1，c2，c3，而且f(x)?a0(x?c1)(x?c2)?(x?cn).然而具体?cn，多项式有专门的方法进行分解.本文针对一种特殊的复系数多项式，从5道题目下手给出了这一特殊类型题目的一般性解法.

一、论文背景介绍

1.1代数基本定理

代数基本定理（任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根， n ?1．）是人们早就知道的.直到1797年，二十岁的德国大数学家Gauss才第一个给出证明．后来 Gauss又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它为代数基本定理．

1.2本原单位根

由高等代数的知识我们知道，在方程x?1中，其本原单位根可定义为

2k?ine；

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

typedef struct{
float coef;
int expn;
}DataType;

typedef struct node{
DataType data;
struct node *next;
}ListNode;

typedef ListNode * LinkList;

int LocateNode(LinkList L,DataType e){
ListNode *p=L->next;
while(p&&e.expn<p->data.expn)
p=p->next;
if(p==NULL||e.expn!=p->data.expn)
return 0;
else
return 1;
}

void InsertNode(LinkList L,DataType e){
ListNode *s,*p;
p=L;
while(p->next&&e.expn<p->next->data.expn)
p=p->next;
s=(ListNode *)mal