二阶常微分方程降阶法例题

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

Some Properties of Solutions of Periodic Second Order

Linear Differential Equations

1. Introduction and main results

In this paper, we shall assume that the reader is familiar with the fundamental results and the stardard notations of the Nevanlinna's value distribution theory of meromorphic functions [12, 14,

(f)and (f)to denote respectively the order 16]. In addition, we will use the notation (f)，

of growth, the lower order of growth and the exponent of convergence of the zeros of a meromorphic function f， e(f)（[see 8]），the

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微

二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用

摘要：根据自己的理解对几类可降阶的微分方程的解题技巧做了一

些总结归纳，并且将这些技巧在应用中得到体现。

关键词：微分方程 可降阶 应用

前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求

解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后即根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。本篇文章主要是对一些比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究，从而推导出具有特殊性质的高阶微分方程的解法，用于解决在实际过程中会碰到的问题。

一、三类可降阶的二阶及高阶微分方程

可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。

1、形如：y''?f(x) 的方程

个人觉得这种类型方程是所有可降阶方程中最简单的一类，因此最先讨论。 方法：只需令

p?y'?，则p'?y''?积分可得p??f(x)dx?C1，

也就得到了y'??f(x)dx?C1，

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

*

《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

数学建模

一阶常微分方程模型—人口模型与预测

一．摘要：

二．模型的背景问题描述

三．模型假设

四.分析与建立模型

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t 0），

N0 101654万人，Nm 200000万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）

假设：人口净增长率r是一常数

符号：x(t) t时刻时的人口，可微函数x0 t 0时的人口 则r

x(t t) x(t)

x(t) t

dx

于是x（t）满足如下微分方程： dt rx

x(0) x0解为：x(t) x0ert 模型二：Lo

本科毕业论文 二阶常微分方程的解法及其应用

毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

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本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名： 指导教师签名：

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注 意 事 项

1.设计（论文）的内容包括：

1）封面（按教务处制定的标准