平面的平行知识点

空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作A ；点A不在平面 内，记作A 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A l,B l,A ,B l

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P A B

点、直线、平面的投影

3.点 直线. 3.点.直线.平面的投影教学目标 3.1 点的投影 3.2 直线的投影 3.3 平面的投影 本章思考题返回

点、直线、平面的投影

3.点 直线. 3.点.直线.平面的投影教学目标1. 掌握点、直线和平面的投影规律与作图法。 掌握点、直线和平面的投影规律与作图法 和平面的投影规律与作图法。 掌握点与线的相对位置中， 2.掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的 运用。 运用。 掌握各种位置直线和平面的投影特征， 3.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图 法以及在投影图上正确判断其空间位置。 方 法以及在投影图上正确判断其空间位置。 掌握两直线， 4. 掌握两直线 ， 两平面相对位置的投影特征及 判断方法。 判断方法。

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点、直线、平面的投影

3.点 直线. 3.点.直线.平面的投影3.1 点的投影3.1.1点的三面投影 3.1.1点的三面投影 3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 3.1.3两点的相对位置 3.1.3两点的相对位置

点、直线、平面的投影

3.点 直线. 3.点.直线.平面的投影3.2 直线的投影3.2.1各种位置直线及其投影特征 3.2.1各种位置直线及其投影特征 3.2.2直线与点的相对位

必修4第二章平面向量知识点

1、向量：______________________． 数量：_______________________． 有向线段的三要素：__________________． 零向量：__________________． 单位向量：______________________________． 平行向量（______________）：_______________________________．零向量与任一向量平行． 相等向量：____________且____________． 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的口诀：________________． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

??????a?b?a?b?a?b．

⑷运算性质：①交换律：______________；_______________________；

②结合律：

????⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?? x 1 ?, y1y 2 ? ．2 x ?

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：______________________________．

C ?a

组合图形就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B）合并使用才能解决。 周长和面积的基本公式：

□ ○ 周长 C=4a C=(a+b)×2 C=πd(或2πr) 面积 S=a2 S=ab S=a×h÷2 S=ah S=(a+b)×h÷2 S=πr2 对于平面组合图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：

（1）加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积. （2）减法：这种方法是将所求的不规则图形面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.

（3）直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.

（4）重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.

（5）辅助

段宇昕数学资料 平面向量知识点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b加法 求两个向量和的运算 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 求实数λ与向量a的积的运算 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；a－b＝a＋(－b) ＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|a＋(b＋c)． 数乘 向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则AB∥CD；

→→

若AB∥BC，则A、B、C三点共线．

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平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同

旁内角也有相

平面直角坐标系

平面直角坐标系的有关概念

夯实基础

一．有序数对

在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作()b a ,。

温馨提示

()b a ,与()a b ,顺序不同，含义就不同。例如：用()5,3表示第3列的第5位同学，那么()3,5就表示第5列的第3位同学。

例1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置（2）在电影票上，如果把“5排8号”简记为（5,8），那么“4排9号”如何表示（8,3）表示什么含义

二．平面直角坐标系

三．象限

x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。 第一象限 第二象限

第三象限 第四象限 y

O

x

温馨提示

如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。 例2：设()b

a M ,为平面直角坐标系中的点。

（

1）当0,0<>

教 案

教研室主任 授课题目 2-4 点、直线、平面的投影（二） 教务科长 授课时数 授课班级 与时间 2 教学方法 讲授 教 具 自制的三投影面体系模型 12级机电47 知识目标：1、讲解特殊位置点的投影 2、讲解两点的相对位置和重影点 教学目标 技能目标：1、熟练掌握点的投影与与其直角坐标的关系以及由点的两个投影求作第 三投影的方法 2、掌握由点的轴测图作投影图和由点的投影图作轴测图的方法 3、根据两个点的投影，能够理解并判别该两点在空间的相对位置 4、掌握重影点的概念及其可见性的判别方法 教学重点 重影点的概念和两点的相对位置 点的三面投影与直角坐标的关系 教学内容、方法及过程 教学难点 教学方法：课堂教学中要加强三等关系和六方位关系的基本训练，着重突出空间概念的培养，这是树立空间概念，搭起空间架子的起步。这部分教学要突出空间位置的判断。运用直观教具，采用讲授和演示教学法，讲情三投影面体系的有关内容和展开方法。注意以下几个要点： 投影面展开前：（1）空间点对投影面的距离及对应坐标的关系。 （2）空间点的投影与其对应坐标的关系

高中数学必修4之平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法a xi yj (x,y) 向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

0与任意向量平行零向量a＝0 ｜②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，

a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

线上a∥b(即自

由向量)

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：a b大

小相等，方向相同(x1,y1) (x2,y2)

x1 x2

y1 y2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB a

2011年高考数学复习知识点平面向量

?????（1）向量的概念：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后

1、向量有关概念：

得到的向量是_____（答：（3,0））

????下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

????????终点相同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则

????????????????????AB?DC。（5）若a?bb则a?c。（6）若a/b,b/c，则a//c。其中正确的是_______,?c，

（答：（4）（5））

2?????（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B.

???????????????13B）；（3）e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：

24????????????????????????已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表

??????2?4?示为_____（答：a?b）；（4）