直线与方程的题型总结

直线与圆方程知识总结

一、坐标法 1．点和坐标

建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系． 2．两点间的距离公式

设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离

|P1P2|=(x2?x1)2?(y2?y1)2

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则 |P1P2|=|y2－y1|

(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则 |P1P2|=|x2－x1|

3．线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1P，点P叫做分线段P1P2为定比λ的定比分点．PP2

当P点内分P1P2时，λ＞0；当P点外分P1P2时，λ＜0．

(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是

?x1?λx2x??1?λ?(λ≠?1)?y?λy2?y?1?1?λ?

特殊情况，当P是P1P2的中点时，λ=1，得线段P1P2的中点坐标

公式

x1?x2?x???2??y?y

第九章 解析几何初步

【课题】第一节 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1．知识与技能:

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 2．情感、态度、价值观：

（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 3．过程与方法:

通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

【教学重点难点】

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式 2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式

【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2课时 【教学过程】 一、复习引入：

直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上

圆的方程题型总结

一、基础知识

1．圆的方程

圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.

圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：

直线Ax?By?C?0，圆(x?a)2?(y?b)2?r2，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；

（2）当______________时，直线与圆相离；

当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系

22圆C1:(x-a1)+(y-b1)=r1； 圆C2:(x-a2)+(y-b2)=r2

2222则有：两圆相离? __________________； 外切?__________________；

相交?_____

直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是0 . 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k tan . 如果知道直线上两点

y y1

. 特别地是，当x1 x2，y1 y2时，直线与x轴垂直，斜率kP(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率公式k 2

x2 x1不存在；当x1 x2，y1 y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当0 90 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大；当90 180 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

（1）l1//l2 k1 k2；（2）l1 l2 k1 k2 1.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率

直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是0 . 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k tan . 如果知道直线上两点

y y1

. 特别地是，当x1 x2，y1 y2时，直线与x轴垂直，斜率kP(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率公式k 2

x2 x1不存在；当x1 x2，y1 y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当0 90 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大；当90 180 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

（1）l1//l2 k1 k2；（2）l1 l2 k1 k2 1.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率

直线、圆方程 综合练习

1 直线与圆的方程练习二

一、选择题：

1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 ( )

A.（-∞,-2）

B.(32-,2)

C.(-2,0)

D.(-2,3

2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )

A.(x +3)2+(y -4)2=1

B.(x +4)2+(y +3)2=1

C.(x +4)2+(y -3)2=1

D.(x -3)2+(y -4)2=1

3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35

4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113

y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )

A.1或-19

B.10或-10

C.-1或-19

D.-1或19

6、(2006四川高考)已知两定点

直线、圆方程 综合练习

1 直线与圆的方程练习二

一、选择题：

1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 ( )

A.（-∞,-2）

B.(32-,2)

C.(-2,0)

D.(-2,3

2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )

A.(x +3)2+(y -4)2=1

B.(x +4)2+(y +3)2=1

C.(x +4)2+(y -3)2=1

D.(x -3)2+(y -4)2=1

3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35

4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113

y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )

A.1或-19

B.10或-10

C.-1或-19

D.-1或19

6、(2006四川高考)已知两定点

直线与圆的位置关系 题型培优

题型1（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围

【变式题组】

1.（辽宁）如图，直线y=

3

x+3与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切3

于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个

5

2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为的⊙O，

2交y轴的负半轴于点B （1）求B点的坐标；

（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式

题型2（襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，∠D等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】 3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ） A.4cm B. 5cm C. 6cm D.8cm

4.

直线与圆的位置关系 题型培优

题型1（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围

【变式题组】

1.（辽宁）如图，直线y=

3

x+3与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切3

于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个

5

2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为的⊙O，

2交y轴的负半轴于点B （1）求B点的坐标；

（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式

题型2（襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，∠D等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】 3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ） A.4cm B. 5cm C. 6cm D.8cm

4.

423直线与圆的方程的应用

423直线与圆的方程的应用

例4。如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图. 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 需要用一个支柱支撑，求支柱A m需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m). 精确到0.01m) 0.01m

423直线与圆的方程的应用

例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB 20m,拱高OP=4m AB= OP=4m, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A 4m需用一个支柱支撑 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度(精确到0.01 0.01) 的长度(精确到0.01) y

x

思考:(用坐标法) 思考:(用坐标法) :(用坐标法1.圆心和半径能直接求出吗？ 1.圆心和半径能直接求出吗？ 圆心和半径能直接求出吗 2.怎样求出圆的方程 怎样求出圆的方程？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱 怎样求出支柱A 的长度？ 3.怎样求出支柱A