对勾函数的最值例题
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对勾函数讲解与例题解析
对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
一、对勾函数f(x)=ax+
错误!未找到引用源。 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。(接下来写作
f(x)=ax+b/x)。
当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。
当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同号)
当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)
对勾函数的图像(ab异号)
一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
一、对勾函数f(x)=ax+
错误!未找到引用源。 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。(接下来写作
f(x)=ax+b/x)。
当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。
当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab同号)
当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)
对勾函数的图像(ab异号)
一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的
二次函数最值经典例题收录
二次函数最值问题 专题 第 4 讲
一、兴趣导入(Topic-in): 二、学前测试(Testing):
重点梳理: 1、二次函数一般形式为:y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为: 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知: 当x满足 时,y随着x的增大而增大; 当x满足 时,y随着x的增大而减小。
3、数形结合讨论最值问题, 1)在X取任意实数时有: ?当a?0时,图像开口 ,函数在x?处取得最小值为,无最大值;
?当a?0时,图像开口 ,函数在x?处取得最大值为,无最小值.
2)函数中m?x?n时有: ?当a?0时,数形结合分类讨论函数的最值问题: 1)当m??
最大值为 。 2)当?
最大值为 。 3)当n??
最大值为
求函数最值的方法总结
求函数最值的常用以下方法:
1.函数单调性法
先确定函数在给定区间上的单调性,然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的,且多在解答题中的某一问中出现.
1
例1 设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=________.
2【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性,再求出函数的最值,然后利用条件求得参数a的值. 【解析】 ∵a>1,∴函数f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数,∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分1
别为loga2a,logaa=1.∴loga2=,a=4.故填4.
2
【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了,以下的问题就容易了.一般而言,对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m,n]上的最值:若函数f(x)在[m,n]上单调递增,则f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);若函数f(x)在[m,n]上单调递减,则f(x)min=f(n),f(x)max=f(m);若函数f(x)在[m,n]上不单调,但在其分成的几个子区间上是单调的,则可以采
导数与函数的极值、最值
高三数学第一轮总复习 第三章第三节
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
第三节
导数与函数的极值、最值
高三数学第一轮总复习 第三章第三节
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
一、函数的极值1.定义:设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点,
都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数 2.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤:(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根x0;(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右
f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称为极值.
的符号;“左正右负” f(x)在x0处取极大值;“左负右正” f(x)在x0处取极小值(注:导数为零的点未必是极值点).
高三数学第一轮总复习 第三章第三节
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
3.特别提醒:(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号,
而不仅是f′(x0)=0,f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑f′
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值
考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地,设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义,
(1)若对于x0附近的所有点,都有f(x )f(x0),则f(x0)是函数f (x)的一个极大值,记作y极大值= f (x0) ;
(2 )若对x0附近的所有点,都有f (x ) f(x0),则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值,记作y极小值= f (x0).
极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
要点诠释:
求函数极值的的基本步骤:
①确定函数的定义域;
②求导数f (x) ;
③求方程f (x)=0的根;
④检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数y= f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值;在开区间(a,b
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值
一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2 当x1 设f(x)在某个区间(a,b)内有导数,若f(x)在区间(a,b)内,总有f′(x)>0[f′(x)<0],则f(x)在区间(a,b)上为增函数(减函数);反之,若f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数),则f′(x)≥0[f′(x)≤0].请注意两者的区别所在. 1.下列函数在其定义域上是增函数的是( ) A.y=tan x B.y=-3x C.y=3x D.y=ln |x| 自左向右看图象是________ 解析:y=tan x只在其周期内单调递增,y=-3x在R上单调递减,y=3x在R上单调递增,y=ln |x|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:C 2.(2013·海淀区一模)已知a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是( ) A.f(x)=ax+b B.f(x)=x2-2ax+1 C.f(x)=ax D.f(x)=logax 解析:a>0时,函数f(x)=ax+b,为增函数;对于函数f(x)=ax,当0<a<1时,在R上为减函数,当a>1时,在R上为增函数;对于f(x)=logax,0<a<1时,在(0,+∞)上为减函数;当a>1时在(0,+∞)上为增
06函数的单调性与最值
06函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
06函数的单调性与最值
知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数
列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等
1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性:同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有: f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.
函 数
正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性:同增异减 定义、图象、 性质和应用
复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布
幂、指、对函数模型;分段函数;对
二次函数最值
二次函数最值
内容讲解: 二次函数的最值问题,包括三方面的内容: 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值
b24ac?b2b的求法.二次函数y=ax+bx+c=a(x+)+.当a>0时,抛物线开口向上,此时当x<-时,
2a2a4a2
bb4ac?b2y随x增大而减小;当x>-时,y随x?增大而增大;当x=-时,y取最小值.当a<0时,
2a2a4a抛物线开口向下,此时当x<-
bbb时,y随x增大而增大;当x>-时,y随x增大而减小;当x=-时,
2a2a2a4ac?b2y取最大值.
4a 2.自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法,?要结合图象和增减性来综合考虑. (1)当抛物线的顶点在该范围内,顶点的纵坐标就是函数的最值; (2)当抛物线的顶点不在该范围内,二次函数的最值在范围内两端点处取得.
3.实际问题中所建立的数学模型是二次函数时,所涉及的二次函数最值的求法,先建模后求解. 例题剖析
例1 (2003年武汉选拔赛试题)若x-1= (A)3 (B)
y?1z?2?,则x2+y2+z2可取得的最小值为( ). 23599 (C) (D)6
214y?1z?2? 分析:设x-1==t,则x2+y2+
多元函数的极值与最值的求法
多元函数的极值与最值的求法
摘要
在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.
求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值,但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法:(1)利用二元函数的偏导数求二元函数极值;(2)拉格朗日乘数法求极值;(3)用几何模型法求解极值;(4)通过Jacobi 矩阵求条件极值;(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.
对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有:(1)消元法;(2)均值不等式法;(3)换元法;(4)数形结合法;(5)柯西不等式法;(6)向量法.除此之外,很重要的一种就是:考虑极值与最值的关系,运用极值法求最值.
关键词:多元函数,极值,最值,方法
、
Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable
Fun