六年级平面几何题及答案

六年级奥数平面几何部

分

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

实用标准文案

精彩文档

平面几何部分 教学目标：

1．熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图

ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =?

平面几何的定理

模型1：【内心与外接圆】设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之， 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

BC

A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质：（1）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DI＝DB＝DC； （2）△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D，以点D为圆心，DC 为半径作圆，与直线AD相交于两点I和IA，则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC

D

IA

模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC

的外接圆上；三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH＝|2RcosA|)。

A

B'F

E

O H M DBC

H'

1

模型4【圆幂定理】 从一定

平面几何新思索

【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作： △FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。

EAOFGPMNQBC

F上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：

“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求证：DI垂直于EF。”

经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

BDAEIC

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1 三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

AHFGOBC

J注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°； 其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形

1形容走路挺神气，满不在乎的样子（ ） 2随随便便，不放在心上（ ）

3形容发生的事很感到十分意外（ ） 4根据有括号部分的意思写成语

5在学校召开的座谈会上，同学们（充分发表了个人的见解）。

6傍晚，乡亲们叫孩子回家的声音（这里起来，那里下去，接连不断）。 7听了老师这段富有哲理的话，我（真心实意地感到佩服）。 把成语补充完整，并按要求归类

8（ ）（ ）不倦 平易近（ ） 虚怀若（ ） 无（ ）不至 9好高（ ）远 壮志（ ）远 壮志（ ）云 褒义词有： 贬义词有：

10在括号里填上近义词或反义词组成成语

近义词：穷（ ）极（ ） 冷（ ）热（ ） （ ）苦（ ）甜 反义词：欲（ ）故（ ） 貌（ ）神（ ） （ ）令（ ）改 去（ ）存（ ） 绿（ ）红（ ） 11写出下列诗句的修辞手法

借问酒家何处有，牧童遥指杏花村。（ ） 可怜九月初三夜，露似真珠月私勾。（ ） 千锤万击出深山，烈火焚烧若等闲。（ ）

16、我的成绩这么差，几次让爸爸恼怒得跳脚呼喊像打雷一样。（ ） 17、这座房子装饰华丽，陈设精美，你见了准会不住口地称赞。（ ）（ ） 18、看着我的成绩单，妈妈连眉毛眼睛都透出笑意。（ ）

19、看着这件全世界没有第二个的宝

平面几何入门（2）

例题和习题

1．如图，BD、CE是△ABC的角平分线，BD、CE相交于O点。 若∠BOC＝130°，则∠A＝_________°。

AEOBDC

2．如图，△ABC内有一点D，AD、BD、CD分别平分∠A、∠B、∠C。又E为△ABD内一点，AE、BE、DE分别平分△ABD各内角；F为△BDE内一点，BF、EF、DF分别平分△BDE各内角。若∠BFE的度数为整数，试求∠BFE至少是多少度？

AEFDB1

C

3．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于E点。 求证：∠E＝

1∠A。 2AEBCD

4．过△ABC的边AB上任意一点D作直线，交BC及AC的延长线于点E、F，∠ADE和∠ABE的平分线交于点G，∠AFE和∠ACE的平分线交于点H。求证：∠DGB＝∠CHF。

FCEGAHDB

2

5．如图，已知AE、CE分别平分∠BAD和∠BCD。且∠B＝60°，∠D＝30°，则∠E的度数是_________。

CA??B°°DE

【补充】

6．四边形ABCD中，∠D＞∠B，∠A、∠C平分线交于E点，延长AE交BC于F。 求证：∠FEC＝

1（∠D－∠B）。 2ADEBFC

3

7．如图，△ABC与△AD

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

Hi，Zuming

Three Problems Sat, 13 May 2006 23:23:39 +0800 (CST)】

今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13 附件：闵飞．doc（197KB）；06051302．gsp（52KB）

【From：闵飞<minfei2003@>

叶老师:

几道三点共线与特殊角的命题 Tue, 9 May 2006 14:36:14 +0800 (CST)】

您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看.

闵飞 2006,5,9.

附件：三点共线与特殊角等价．doc（114KB）

题目1：过A作 ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点， APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证： BAC=60 的充要条件是O、P、Q共线。

题目2：在 ABC中， A的平分线交BC于D， ABC、 ABD、 ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

阅读时必须考虑的几个问题：

1．步步皆要考虑“知其然之其所以然”。

2.解此题的关键步骤是什么？如何想到，是否应该想到这样的方法、这样的思路？ 3.画图线条的如何取舍？

4.本题有什么特点？解法是否接触过？

5.分析思考各类定理的运用时机，运用条件。

注意：思考过久（不超过15分钟为宜）不知其然，思考过久（不超过10分钟为宜）不知所以然，跳过！强调一下，不超过不是指一题不超过15分钟，是指从某一步推到另一步不超过的时间。

例1（美国37届）设M、N、P分别是非等腰锐角△ABC的边BC、CA、AB的中点，AB、AC的中垂线分别与AM交于点D、E，直线BD、CE交于点F，且点Ｆ在△ＡＢＣ的内部。证明：Ａ、Ｎ、Ｆ、Ｐ四点共圆。

证明：如图1，设△ＡＢＣ的外心为Ｏ。则∠ＡＰＯ＝∠ＡＮＯ＝900。于是Ａ、Ｐ、Ｎ在以ＡＯ为直径的圆上。因此，只要证明∠ＡＦＯ＝900。不妨设ＡＢ＞ＡＣ。由ＰＤ是ＡＢ的中垂线知，ＡＤ＝ＢＤ。同理，ＡＥ＝ＣＥ。设?＝∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ，?＝?CAE??ACE。则?????BAC。在△ＡＢＭ和△

ＡＣＭ中，由正弦定理得

CMACBMAB?，。?sin?sin?BMAsin?sin?CMABMs

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

阅读时必须考虑的几个问题：

1．步步皆要考虑“知其然之其所以然”。

2.解此题的关键步骤是什么？如何想到，是否应该想到这样的方法、这样的思路？ 3.画图线条的如何取舍？

4.本题有什么特点？解法是否接触过？

5.分析思考各类定理的运用时机，运用条件。

注意：思考过久（不超过15分钟为宜）不知其然，思考过久（不超过10分钟为宜）不知所以然，跳过！强调一下，不超过不是指一题不超过15分钟，是指从某一步推到另一步不超过的时间。

例1（美国37届）设M、N、P分别是非等腰锐角△ABC的边BC、CA、AB的中点，AB、AC的中垂线分别与AM交于点D、E，直线BD、CE交于点F，且点Ｆ在△ＡＢＣ的内部。证明：Ａ、Ｎ、Ｆ、Ｐ四点共圆。

证明：如图1，设△ＡＢＣ的外心为Ｏ。则∠ＡＰＯ＝∠ＡＮＯ＝900。于是Ａ、Ｐ、Ｎ在以ＡＯ为直径的圆上。因此，只要证明∠ＡＦＯ＝900。不妨设ＡＢ＞ＡＣ。由ＰＤ是ＡＢ的中垂线知，ＡＤ＝ＢＤ。同理，ＡＥ＝ＣＥ。设?＝∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ，?＝?CAE??ACE。则?????BAC。在△ＡＢＭ和△

ＡＣＭ中，由正弦定理得

CMACBMAB?，。?sin?sin?BMAsin?sin?CMABMs

1．电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？

2．甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款

3．由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？

4．小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？

5.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

6.一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

7.股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣

103f
小学奥数题及答案

火车过桥问题

一、填空题
1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒?
2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火车的速度.
3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长.
4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速度和车身长各是多少?
5.小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?
6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火车的速度与车身长各是多少米.
7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全