七数培优竞赛讲座第21讲

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．

从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察

新课标七年级数学竞赛讲座

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类

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第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类

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第十三讲 一次方程组

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．

解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．

对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．

例题

【例1】 给出下列程序： ，且已知当输入x值为1时，输出值为1；输入的x值为一1时，输出值为一3，则当输入的x值为

1

时，2

输出值为 ． (南通市中考题)

思路点拨 建立关于k，b的方程组，解方程组先求出k、b的值．

注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数

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第十三讲 一次方程组

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．

解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．

对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．

例题

【例1】 给出下列程序： ，且已知当输入x值为1时，输出值为1；输入的x值为一1时，输出值为一3，则当输入的x值为

1

时，2

输出值为 ． (南通市中考题)

思路点拨 建立关于k，b的方程组，解方程组先求出k、b的值．

注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数

第21讲 数阵问题（二）

例1 把3，4，5，6，7这五个数分别填入右图中的五

个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例2 将1-7分别填入右图中的○内，使每条线段上三

个○内数的和相等。

例3 将1-6这六个数分别填入右图中的○内，使每条边上三个○内数的和都等

于9 。

例4 请5-14这十个自然数填入右图的○中，使每个大圆上六个数的和都相等。

例5 将1-10这十个自然数分别填入右图中的十个○内，使各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等。

1

思考与练习

1、把1-9这九个数填入“七一”的每个小方格内，使每一横行、竖行的数字和都是13。

2、把1-7这七个数分别填入右图的○里，使每条线上3个数的和等于10。

3、将1-13这13个数分别填入右图的○内，使每条线段上四个○内的数之和相等。

4、将10-20填入右图的○内（其中15已填好），使得每条线段上的三个数字之和都相等。

5、将1-6这六个数分别填入右图的○内，使得每条线段上的三个○内所填数的和相等。

6、将1-10这十个自然数填入右图的○中，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小

第5讲 分 式

一、选择题

1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换）

已知a2?3a+1=0,则4 a2?9a?2+1+a2 的值为（ ） A . 3 B.5 C. 3 5 D. 6 5 分析：显然a≠0，由题设得a+a=3，所求式子=4 a2?3a +3a?2+3a=?4+3×3?2=3. 答案：A .

技巧：通过对题设中等式的整体变形，能整体求值的就整体求值代换，这样能简化运算，达到快捷解题的目的.

易错点：代换过程中容易变形失误而致错.

2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式）

若4x?3y?6z=0,x+2y?7z=0(xyz≠0)，则代数式

5x2+2y2?z22x2?3y2?10z21

9

9

的值为( )

A. ?2 B. ?2 C.-15 D.-13

4x?3y=6z 分析：由题意得 ，解得

x+2y=7z

x=3z

222222

，代人5x+2y?z得5×9z+2×4z?z=

2x2?3y2?10z22×9z2?3×4z2?10z2

y=2z

119

?13.

答案：D.

技巧：将

第1讲 与有理数有关的概念

考点·方法·破译

1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典·考题·赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.

【变式题组】

01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）

A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )

A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨

03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是

鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温

第四讲巧求周长与面积

1. 掌握巧求周长与面积的基本方法；

2. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

巧求周长 GHEF

【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分

长BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC厘24厘米，则长方形ADHE的周长是__________

米。 CDAB

【分析】 由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。

FH?AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和。所以长方形ADHE的周长为：(18?24)?2?84厘米。

DC

丙【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三

EJ个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形乙F区域甲，和L形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边I长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那甲么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？

AGHB

【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），

同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长。由于AE?4?1.5

第21讲 数与式中的思想方法

一、学习目标

1．获得知识技能和一些数学学习的基本思想；

2．建立数学思想，掌握思想方法，可以在解题时，寻求出已知和未知的联系，提高分析问题的能力，从而形成解决问题的能力.

考情分析

数学的学习核心是思想方法的学习，数学题海浩瀚无边，问题又可变式发散，所以习题就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是中考考查的重点.

二、基础知识·轻松学

1.整体思想运算简

就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．

【精讲】整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式中，整体思想有很好的应用．

2.分类讨论难化易

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

【精讲】分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一