随机事件的独立性

概率与统计 课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第一章第四节 事件的独立性 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：

理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法 教学重点及难点：

应用事件独立性进行概率计算 课时安排：2课时 授课方式：讲授 教学基本内容：

一、 事件的独立性(Independence of events)

设A，B是两个事件，一般而言P(A)?P(A|B)，这表示事件B的发生对事件A的发生的概率有影响，只有当P(A)?P(A|B)时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。这时，由条件概率可知，

P(AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A)?P(A)P(B)

由此，我们引出下面的定义。

定义 若两事件A，B满足P(AB)?P(A)P(B),则称A，B相互独立(Mutual

independence)。

定理 若四对事件{A,B},{A,B},{A,B},{A,B}中有一对是相互独立的，则另外三

对也是相互独立的.

在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无

概率与数理统计教案

概率

1.5论

独性立两个事件的立独性个多件事的独立性独立性概的在计念算率概中应用小结的

概率与数理统计教案

率论概

一两、件事的立性独先看个例一： 子一将颗均骰匀连子两次掷 设 显然，

A{第二=次掷出点6,}B ={第一掷次出点}6,(PAB|=P)(A)就是这,说已事知B件发,生并不响影件事A生的概 率发这时称,件事、B独立A.

概率与数理统计教案

概率论

乘由公法知，当式事A、件B独立，有 P(A时)BP=() A(PB)P AB P AB P B 用PAB()P=A) P(B(刻)划独性,立用比P (|AB )= PA) ( 或(PBA) = |(P)B

好更,不它受 (BP>0 或) PA(>)0的制 约.

概率与数理统计教案

概率论两事件立独的定义若事两A、件满BP(足A)=BP(A P(B) )1)(则称、BA相互独立简，称AB独立.、定 理 事1件A、B 独 立充要条件为P 的 A | B P A , P B 0 P B |A P B P , A 0或

概率论

证

概率与数理统计教案

先 必证性 .要设事 件AB、独 ,立独由定义知立 P

条件概率与事件的独立性

一．知识归纳

1.P(B|A)?P(AB)P(A)?n(AB)n(A).

2.独立事件：A,B的发生互不影响的两个事件，其中：P(AB)?P(A)P(B). 3.独立重复试验：独立重复试验某个事件（其中P(A)?P)n次发生k次的概率为： Pn(k)?Cnkpk(1?p)n?k。

二．练习精讲

1.已知P(AB)? A.9310,P(A)?35,则P(B|A)?( B ) 94252102.甲、乙两个城市位于长江中下游，根据一百年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为

B.1 C. D.

1

20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%，则（1）乙市下雨时甲市也下雨的概率为 __

__________.

353.在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则（1）第一次 抽到理科题的概率为___

352___;（2） 甲市下雨时乙市也下雨的概率为___

3______.（2）第1、2次都抽到理科题的概率为_____

1310_________.

(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为____

_________.

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性

教学目标：1、理解条件概率的概念和两个事件相互独立的概念，以及如

何求条件概率

2、正确求出条件概率必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A

发生并且事件B也发生”及“事件B在事件A发生的条件

下发生”

3、判断两个事件是否独立，以及如何求相互独立事件同时发

生的概率

一、自主预习：

1、条件概率： 2、事件A与B的交（或积） 3、条件概率公式 4、相互独立事件

二、课前自测

1、抛掷红、蓝两颗骰子，设：事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”

事件B=“两颗骰子的点数之和大于8”问在事件A发生的条件下事件B发生的概率？

条件概率与事件的独立性

2、把一枚 硬币任意抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件Ｂ＝“第二次出现反面”，求Ｐ（Ｂ︱Ａ）

三、自主探究，合作学习

例1 一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？

练习：假定生男孩或生女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个 男孩，求至少有一个女孩的概率？

例2 设某种动物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25的概率

概率统计

Ch1-83

§1.4 事件的独立性事件的独立性 例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求P( A1) , P( A2 ) ,

P(A2 A ), P( A2 A1 ) , 1P(A2 A ) = 3/ 8, 1

解 P( A ) = 3 / 8 = P( A2 ) , 1P( A2 A1 ) = 3 / 8,

P( A2 A1 ) = P( A2 ) = P( A2 A1 )

概率统计

Ch1-84

事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立

P(A A2) = (3/ 8) = P(A )P(A2 A ) = P(A )P(A2) 1 1 1 12

定义 设 A , B 为两事件，若

P ( AB ) = P ( A) P ( B )则称事件 A 与事件 B 相互独立

概率统计

Ch1-85

两事件相互独立的性质两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若 P ( A) > 0, 则P ( B ) = P ( B A) 若 P ( B ) > 0, 则 P ( A) = P ( A B ) 若 P ( A)

1 引言

概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要.

2 相关定义

定义1离散型随机变量 定义在样本空间?上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量???(?)，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.

定义2 n维离散型随机变量 设?1,?2,???,?n是样本空间?上的n个离散型随机变量，则称n维向量（?1,?2,???,?n）是?上的一个n维离散型随机变量.

定义3 联合分布型 设(?,?)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(ai,bj),i,j?1,2,???，令

南昌大学科学技术学院学士学位论文

密级：

科学技术学院

NANCHANG UNIVERSITY COLLEGE OF

SCIENCE AND TECHNOLOGY

学 士 学 位 论 文

THESIS OF BACHELOR

（2006 — 2010 年）

题 目 论我国注册会计师审计的独立性

学 科 部： 财经学科部 专 业： 会计学 班 级： 06 级（4）班 学 号： 7042606177 学生姓名： 何伟 指导教师： 甘国华 起讫日期：2009年12月15日—2010年5月15日

0

南昌大学科学技术学院学士学位论文

论我国注册会计师审计的独立性

目 录

内容摘要???????????

第三章 条件概率的独立性

习题3 一．填空题

1.设A.B为两个互相独立事件，若P（A）=0.4，P（B）=0.3，则P(A?B)=

2.在一次实验中A发生的概率为p，现在进行n次独立重复试验，那么事件A至少发生1次的概率为

3.设A.B.C构成一完备事件组，且P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P（C）= ,p(AB)= 4.若P(A)=

112,P(B)=，P(BA)=,则P(AB)= 2335.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为P(0

2次命中目标的概率为 二．选择题

1. 同一目标进行5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（ ） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.0512

2. 5人以摸彩的方式决定谁从五张彩票中摸的一张电影票，设Ai表示“第i次个人摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（ ） (A) P(A1A2)=

1413 (B) P(A2)= (C) P(A2)= (D) P(A1A2)? 45553 袋中有5个球（3个新球，2个旧球）

随机变量

第2 9卷第 3期20 0 9年 5月

大庆师范学院学报

Vo _ 9 o 3 l 2 N .Ma, 0 9 y2 0

J U N LO A I GN R LU IE ST O R A FD Q N O MA NV R IY

连续型随机变量的概率密度函数和独立性郭英，张宏礼，苫社，王徐艳

(黑龙江八一农垦大学文理学院，龙江大庆 1 3 1 )黑 6 3 9

摘

要：续型随机变量在分布函数的非连续导数点，何求概率密度函数值，何判定两个连续型随机变量的独连如如

立性 .有研究价值的问题。结合实例分析得出结论：分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，是在只要将概率 密度函数适当辛充定义，之在负无穷到正无穷之间有定义，卜使即可满足要求；两个连续型随机变量，须在一个非零必测度集上满足联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积时，能说明二者不独立。才 关键词：率论；续型随机变量；率密度函数；布函数；立性概连概分独

作者简介：郭英 (9 7 )女，龙江宁安人，龙江八一农垦大学文理学院数学系讲师， 17一，黑黑从事随机微分方程、随机动力系统的研究。

基金项目：0 7年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业课程体系的建设与应用型人才培养 2

随机变量

第2 9卷第 3期20 0 9年 5月

大庆师范学院学报

Vo _ 9 o 3 l 2 N .Ma, 0 9 y2 0

J U N LO A I GN R LU IE ST O R A FD Q N O MA NV R IY

连续型随机变量的概率密度函数和独立性郭英，张宏礼，苫社，王徐艳

(黑龙江八一农垦大学文理学院，龙江大庆 1 3 1 )黑 6 3 9

摘

要：续型随机变量在分布函数的非连续导数点，何求概率密度函数值，何判定两个连续型随机变量的独连如如

立性 .有研究价值的问题。结合实例分析得出结论：分布函数的非连续导数点是有限个或可列个时，是在只要将概率 密度函数适当辛充定义，之在负无穷到正无穷之间有定义，卜使即可满足要求；两个连续型随机变量，须在一个非零必测度集上满足联合概率密度函数不等于两个边缘概率密度函数的乘积时，能说明二者不独立。才 关键词：率论；续型随机变量；率密度函数；布函数；立性概连概分独

作者简介：郭英 (9 7 )女，龙江宁安人，龙江八一农垦大学文理学院数学系讲师， 17一，黑黑从事随机微分方程、随机动力系统的研究。

基金项目：0 7年黑龙江省高等学校教学改革工程项目：信息与计算科学专业课程体系的建设与应用型人才培养 2