高三解析几何经典例题及答案

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

盐城师范学院考试试卷

2007 - 2008 学年 第一学期

数学科学学院 数学与应用数学专业《 解析几何》试卷A

标准答案及参考标准

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题2分,共10分）

1-5 CDAAB

二、填空题(本大题共5小题10空,每空3分,共30分)

1.

6, 1,1, 1 或 1, 1,1 . 2. 3x 3y 2 0.

3. 9, 9, 9且 9. 4. x 3y z 5 0.

x25.

y2z2

9 4

1，4 9. 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”.本大题共5小题，每题2分，共10分）

1-5 √×√××

四、计算题（本大题共3小题，每题10分，共30分）

1. 解 任取母线

x 11 y 1 1 z 1

2

上一点M x1,y1,z1 ，则过M的纬圆方程为 x x1 y y1 2 z z 1 0, x2 y2 z 1 2 x222 ……………………4’ 1 y1 z1 1 .

又M在母线上，有 x1 11 y1 1 1 z1 1

2

t .， ……………………7’ 联立消去参数有

5x2 5y2 2z

第一章 向量代数

习题1.1

1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量a,b,c成立

(a?b)?c?a?(b?c).

证明：作向量AB?a,BC?b,CD?c（如下图），

D c

b?c a?b

AC

b B

a 则 (a?b)?c?(AB?BC)?CD?AC?C?D ,ADa?(b?c)?AB?(BC?CD)?AB?BD?AD,

故(a?b)?c?a?(b?c).

2. 设a,b,c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是a?b?c?0.

证明：必要性，设a,b,c的终点与始点相连而成一个三角形?ABC，

C

c b

A

a B

则a?b?c?AB?BC?CA?AC?CA?AA?0. 充分性，作向量AB?a,BC?b,CD?c，由于

0?a?b?c?AB?BC?CD?AC?CD?AD,所以点A与D重合，即三向量

a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形?ABC三边AB,BC,CA的中点分别是D,E,F（如下图），并且记

CF c

E

b

A

a D B

a?AB,b?BC,c?CA，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是

CD?111(c?b)

第1页，共8页

有关解析几何的经典结论

一、椭 圆

点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆

内切.

X

V 椭圆— 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,点P 为椭圆上任意一点

a b

2 Y

ZF 1PF 2 =,则椭圆的焦点角形的面积为

S F 1PF 2 =b tan?. 2 2 X

V 椭圆二 2 -1 (a > b > 0)的焦半径公式:

a b

| MF 1 Ha ex o , ∣MF 2 戶a -eχ√ F'-c,。)，F 2(c,O) M (X ), y °)). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF ⊥ NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，

AP 和A 2Q 交于点 M A2P 和AQ 交于点 N 贝U MF ⊥N

______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 解析几何

一、选择题

1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A. 3 B ．－ 3 C.3

3 D ．－3

3

解析：斜率k ＝－1－33－(－3)＝－3

3，故选D.

答案：D

2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是(

) A ．1 B ．－1

C ．－2或－1

D ．－2或1

解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．

②a ≠0，

x ＝0时，y ＝2＋a .

y ＝0时，x ＝a ＋2

a ，

则a ＋2

a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.

答案：D

3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )

A ．4

B ．213

13

C.513

26 D ．710

20

解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，

由两直线平行知m ＝2，

则d ＝|1－(－6)|62＋22＝710

20.

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

1 4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22

21(0)9x y m m

+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；

（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程．

解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或

其内部，得()22

201109m m

+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13m ≤<时，椭圆的焦点在x

轴上，e =；当3m >时，椭圆的焦点在y

轴上，e =.

∴

)()133.m e m ≤<=??>??

， (Ⅱ)

由222

119y x y m ?=+????+=??，消去y

得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，

，则12x x +=，21229(1)10

m x x m -=+②. ∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得

2x =④. 将③④代入②得，

2

229(1)210m

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2

双曲线的方程及性质

双曲线 标准方程 x2y2??1（a?0,b?0） a2b2y2x2??1（a?0,b?0） a2b2 y P y F2 O 简图 F1 OF 2 x x P F1 焦点坐标 顶点 范围 F1??c,0?，F2?c,0? A1??a,0?，A2?a,0? x≥a，y?R F1?0,?c?，F2?0,c? A1?0,?a?，A2?0,a? y≥a，x?R 实轴: 线段A1A2=2a 虚轴: 线段B1B2=2b 准线 渐近线方程 焦半径 a2x?? c by??xa PF1???ex0?a?， a2y?? c ay??xb PF1???ey0?a?， 几何P?x0,y0??C 性质 对称性 离心率 PF2???ex0?a? PF2???ey0?a? P在左支上用“?”， ， P在下支上用“?”P在右支上用“?” P在上支上用“?” 关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； ce???1,??? ac?a2?b2 2a,b,c的关系 焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2?b?cot?2（?F1PF2??，b为虚半轴长） a2两准线间距离： cb2焦准距