排列组合公式特殊值

排列组合公式

复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。

难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析：

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不

高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1 学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏 高考目标 掌握排列、组合问题的解题策略 一、知识与技能 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 三维目标 二、过程与方法 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法 三、情感态度与价值观 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点 重点：排列、组合综合题的解法． 教学难点难点：正确的分类、分步． 及 解决措施 教学要点 经 一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。 解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即典 指数形式， 例 有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共34种。 题 练习：若A=｛a,b,

小升初计数重点考查内容———— 排列组合

1．排列组合的意义与计算方法

2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法

(★★☆)

8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了： ⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；

⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；

⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些； ⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称” ⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”

(★★☆)

高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)

刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(

排列组合特殊问题解析

一、有重复问题

下列两例题尝试分类讨论列出所有类别。

例1、从3，4，5，6，7五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率：

（1）三个数字完全不同； （2）三个数字中含3或5。 （3）三个数字中含3和5。

例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

二、分堆问题

例3、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ ⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本； ⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆．

例4、有6本不同的书

(1)分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？ (2)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ (3)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？

例5、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ （1）各组人数分别为2，4，6人； （2）平均分成3个小组；

（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

11个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4． ?A8?A82（个）

∴ 没有重复数字的四位偶数有

311 A9?A4?A8?A82?504?179?2229个．6

3 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2

排列组合特殊问题解析

一、有重复问题

下列两例题尝试分类讨论列出所有类别。

例1、从3，4，5，6，7五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率：

（1）三个数字完全不同； （2）三个数字中含3或5。 （3）三个数字中含3和5。

例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

二、分堆问题

例3、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ ⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本； ⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆．

例4、有6本不同的书

(1)分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？ (2)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ (3)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？

例5、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ （1）各组人数分别为2，4，6人； （2）平均分成3个小组；

（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。

华南师大数科院数学学校2016年春季班小学四年级加强班讲义

第九讲 排列组合综合应用

【内容概述】

乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法?做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×??×mn种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一起才能完成这件事情）

加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m1种不同的方法，在第二类办法中，有m2种不同的方法??在第n类办法中，有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】

例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？

【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：4?3?2?24（种）

练习一“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO可以分三个步骤，第

1.分类加法原理——（或）——不重不漏

2.分步乘法原理——（且）——步骤完整

3.排列（arrangement）：

例1. 用0~9十个数字，可以组成多少个没有重复的数字的三位数？ 有三种思路： ①

② 分三类 ③ 逆向思维

4.组合（combination）： 由此

例2. 要从十七人中选出十一人组建足球队

（1）有多少种可能

（2）要是要选出一人出任守门员，有多少种不同的可能 两种方法

组合的性质：1.

2. 计算器：

（排列的另外一种理解）

（也即是大除法，去序）

5.二项式：

n个（a+b）相乘，不合并同类项，总共有多少项？

基础练习：

1.设有99本不同的书

（1） 分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ （2） 分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ （3） 平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？

（4） 分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的

分法？

（5） 分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ （6） 分成3份，一份9

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

1(,ij1,2?,3,4)例3.已知集合A?{1,2,3,?,19,20}，集合B?{a1,a2,a3,a4}，且B?A，若|ai?aj|?则满足条件的集合B有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

，

例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，

1. 如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部

分的概率为______.

2. ．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

?x?0?x?y?1?3.由不等式?y?0确定的平面区域记为?1，不等式?，确

?x?y??2?y?x?2?0?定的平面区域记为?2，在?1中随机取一点，则该点恰好在?2内的概率为（ ）

A.

1137 B. C. D. 84484. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）

A．144 B．120 C．72 D．24

5. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方

形边长的概率为（ ）

1234A. B. C. D. 55556. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有

A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

7. 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公

益活动的概率

A.