传染病微分方程模型

实 验 六

实验项目：传染病模型——微分方程模型实验

实验目的：1.进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力； 2.学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。 实验内容：1.建模实例，传染病问题等； 2.编程求解。

一、模型实例-----传染病模型

? 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

? 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求

t时刻的感染人数。

m? 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为 。单位时间内感染人

数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型

x求时刻

t的感染人数。

实验方法与步骤 1、问题分析

a、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

c、

【摘要】 以重大传染病疫情为主的突发公共卫生事件不仅严重危害人民的生命财产安全,还极易造成恐慌,引起社会动荡,影响社会生活的方方面面,甚至阻滞经济的发展。建立和发展传染病预测预警技术,提高预测预警的及时性和准确性,对于传染病控制工作意义重大。实践证明,开展预测预警研究在传染病防制中具有良好的卫生经济学指标,具有低投入、高回报的特征。良好的预测是制定预防和控制传染病的近期或长远应对策略的前提。疾病的预测可以及早发现疾病的发展趋势,为深入开展疾病的预警奠定基础,也为制定防制策略及措施提供理论依据。在我国,传染病的预测方法研究起步较晚,90年代后期才得到较快发展。用于传染病预测的模型大多以传统的线性模型为主,误差偏移较大,在实际运用中效果不太理想。因此,针对当前传染病的发病情况,建立新的预测模型开展科学预测研究迫在眉睫。预测是对疾病未来的发生、发展和流行趋势开展分析;预警则不仅需要掌握疾病的发生发展趋势,更要求能及时识别早期的异常情况并发出警报,启动应急反应。预警必须建立一套指标体系,通过综合运用指标体系的方法对某一传染病的情况进行分析和评价,确认发生危机的可能性和严重程度,决定是否发出危机报警,并提出必要的措施以寻求最低损失。确立一套灵敏、有效的

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

求实

创新

团结

奉献

第六章

微分方程模型

求实

创新

团结

奉献

本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

求实

创新

团结

奉献

一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

求实

创新

团结

奉献

建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

求实

创新

团结

奉献

1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>

数学模型实验—实验报告10

学院： 专 业： 姓 名： 学号：___ ____ 实验时间：__ ____ 实验地点：

一、实验项目：传染病模型求解

二、实验目的和要求

a.求解微分方程的解析解

b.求解微分方程的数值解

三、实验内容

问题的描述

各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。

模型一（SI模型）：

（1）模型假设

1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。

（2）建立模型

根据假设，每个病人每天可使as（t）个

传染病模型

摘要

“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要

微分方程模型（动态模型） 微分方程模型（动态模型） 在研究某些实际问题时， 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系， 之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些 关系。利用这些关系， 关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模 在自然界以及工程技术领域中， 型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大 量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等 量存在的。 领域中去，其影响是广泛的。 领域中去，其影响是广泛的。 ? 随时间(空间)变化的数量关系 随时间(空间) ? 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分)的方程 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分) ? 例: 人口模型 、种群竞争模型 1
动态模型的作用： 动态模型的作用： ? 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段
微分方程建模的方法： 微分方程建模的方法： ? 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据函数及其变化率 变化率之间的关系确定函数 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 内在规律或用类比法建立微分方程 ? 按照内

汝南双语学校高效课堂自主学习型生物导学稿

八年级班姓名日期

课题：§8.1.1传染病及其预防

一、学习目标

1、举例说出传染病的病原体、传播途径和预防措施。

2、列举常见的寄生虫病、细菌性传染病和病毒性传染病。

3、关注艾滋病，正确对待艾滋病人，培养奉献爱心的社会责任感。

1．1988年上海曾流行甲型肝炎，后查明原因是食用了不清洁的毛蚶引起的。这种不清洁的毛蚶属于（）A．传染源 B．病原体C．抗原 D．易感者

2流行性感冒的传播途径是（）

A．水传播 B．饮食传播C．飞沫和空气传播 D．接触传播

3.下列四种疾病中，属于体表传染病的是（）

A．蛔虫病 B．急性结膜炎C．肺结核 D．病毒性肝炎

4. 下列通过飞沫、空气传播的疾病是：（）

A．沙眼B．肺结核C．疟疾D．伤寒

5. 传染病的致病因素是（）

A．传染源B．传播途径C．病原体D．易感人群

6. 一切人员入境时，都要进行检疫，其目的是（）

A．控制传染源B．计划免疫C．切断传播途径D．保护易感者

7. 隔离传染病病人的主要目的是：（）

A．控制传染源B．切断传播途径C．保护易感者D．积极治疗患者

8.将下列合适的内容,填写在对应的栏目中:

(1)属于控制传染源的是(