高中数学导数小题

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高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

专题8：导数（文）

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 32 解析：f'?x??x?2，所以f'??1??1?2?3 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1处的切线方程是y?，f(1))1x?2，则2f(1)?f?(1)? 。

解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??3 22答案：3

例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处的切线方程是 。

解析：y'?3x?4x?4，?点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切

232，?3)带入切线方程可得b?2，，?3)线方程为y??5x?b，将点(1所以，过曲线上点(1处的切线方程为：5x?y?2?0 答案：5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

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三基小题训练一

命题：王统好

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数y=2x+1的图象是 （ ）

2.△ABC中，cosA=

A.

56 65

53，sinB=,则cosC的值为 （ ） 135561616B.－ C.－ D.

656565

3.过点（1，3）作直线l，若l经过点（a,0）和(0,b)，且a,b∈N*，则可作出的l的条数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.多于3

4.函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)对任意正实数x,y都有 （ ）

A.f(x·y)=f(x)·f(y) B.f(x·y)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

5.已知二面角α—l—β的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c所成的角为60

天津市2016届高三文科考前复习（填空+选择） 编者：高成龙

高三文科考前复习（填空+选择）

【模块1】数列小题（等差、等比性质的考察）

【1】设{an}是首项为a1，公差为?1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1、S2、S4成等比数列，则a1的值为____________.

【2】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3?3S2?0，则公比q的值是 .

【3】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4?5S2，则公比q的值是 .

【4】已知首项为

3的等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N*), 且?2S2,S3,4S4成等差数列. 2则公比q的值是 .

【5】已知首项为

3的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), 且S3?a3,S5?a5,S4?a4成等差数2列. 则公比q的值是 .

【6】已知{an}是首项为1的等比数列，且9S3?S6，则数列{

【7】差数列?an?中，an?21?3n，则n? 时Sn有最大值.

【8】已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，n

高中数学高考综合复习导数及其应用

导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数

在点

及其附近有定义，当自变量x在

处有增量△x（△x可正可负），则函

数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数

在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，

并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作

，即

高中数学高考综合复习导数及其应用

。

（Ⅱ）如果函数对于开区间（

在开区间（

）内每一点都可导，则说 ，都对应着一个确定的导数

在开区间（

在开区间（

）内可导，此时，

）内构 或

，

）内每一个确定的值 ，这样在开区间（

成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 ）内的导函数（简称导数），记作

即

认知： （Ⅰ）函数数值；

（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量

在点

在点

的导数 处的导数

。

是以x为自变量的函数，而函数 是

的导函数

当

在点 处的导数 是一个

时的函数值。

处的导数的三部曲：

；

②求平均

历年自主招生试题分类汇编——导数

7. （2014年华约）已知n?N*,x?n,求证:n?n(1?)nex?x2.

xxn【证明】原不等式等价于n?x?n((1?)?e)n.

n 当x2?n,上述不等式左边非正,不等式成立;

2xn 当x2?n时,由ey?1?y(y?0)及贝努力不等式(1?y)n?1?ny(n?1,y??1),

xxxxnx2nx2nn 从而n((1?)?e)?n((1?)?(1?))?n(1?2)?n(1?n?2)?n?x2,即证.

nnnnn7. （2013年华约）已知f(x)?(1?x)ex?1 求证:(1)当x?0,f(x)?0;

(2)数列{xn}满足xnexn?1?exn?1,x1?1,求证:数列{xn}单调递减且xn?1. 2n【解】(1)当x?0时,f?(x)??xex?0,所以f(x)在(0,??)上递减,所以f(x)?f(0)?0. (2)由xnexn?1?e?1得exnxn?1exn?1,结合x1?1,及对任意x?0,ex?x?1,利用数学归纳法?xnxx易得xn?0对任意正整数n成立,由(1)知f(xn)?0,即en?1?xnen, 即xnexn?1?xnexn,因为xn?0,所以exn?

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：