数学数列典型例题

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克? 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、 模型假设

1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0

三、 模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、 模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得：

(-69t/41686)

5429-69

拓展目标：

一：周期问题的解决方法

（1）找出排列规律，确定排列周期。

（2）确定排列周期后，用总数除以周期。

①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个

② 如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1：

（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18?2?9，所以第18个数是2． （2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列的周期是3，16?3?5???1，所以第16个数是1． 二：斐波那契数列

斐波那契是意大利中世纪著名的数学家，他曾提出这样一个有趣的有关兔子的问题：

假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1 1 斐波那契数列（兔子数列）

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

1

你看出是什么规律：

解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2.

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?

十年专注 只做考研 www.xuefu.com

考研数学概率典型例题汇总，各位同学来了解下吧。

?随机事件和概率重点及典型题型

一、本章的重点内容：

四个关系：包含，相等，互斥，对立;

五个运算：并，交，差;

四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律);

概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式;

五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;

条件概率;

利用独立性进行概率计算;

n重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。

二、常见典型题型：

学府考研

十年专注 只做考研 www.xuefu.com

1.随机事件的关系运算;

2.求随机事件的概率;

3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

?随机变量及其分布重点及典型题型

一、本章的重点内容：

随机变

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2.

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?

一塌糊涂

典型例题一：

你受雇于ABC有限公司，审核其采购、接收、库存以及原材料发放的内部控制。你对ABC有限公司流程的描述如下：

主要由昂贵的电子元件组成的原材料存放在一个上锁的库房里。库房人员包括一名监督员和四名职员。他们都经过训练、很有能力，并且购买了保险。只有经过生产部门某个领班书面的或口头的授权，才可以从库房转移原材料。

由于没有采用永续盘存制，库房职员没有记录货物的接收与发放。为了弥补永续盘存的短缺，库房职员在很好的监督下，每月进行实物盘点，并用在进行存货盘点的时候采取了适当的程序。

在实物盘点之后，库房监督员把盘点的数目与预先定好的追加订购水平相匹配。如果给定部件的数目小于追加订购水平，监督员将在材料请求单上输入部件编号，然后将其发送给应付账款职员。应付账款职员为每个预先定好的追加订购量准备采购订单，然后把采购订单寄给最近一次采购部件的供应商。

当订购的材料到达ABC有限公司时，库存部门职员进行接收。职员盘点货物，并对照提货单上的货物进行核实。将所有供应商的提货单签名、标注日期，然后归档，作为收货报告保存在仓储部门。

要求：描述内部控制的缺陷，并为ABC有限公司的采购、收货、库存以及原材料发放流程推荐一些改进措施。

参考答案：

嘉祥一中等差数列及其求和典型例题 例1（10四川文）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4，求数列{an}的通项公式；

例2、（08陕西）已知{an}是等差数列，a1 a2 4，a7 a8 28，求该数列前10项和S10。 例3已知：等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10 185．求an例4.已知数列 an 中，Sn是它的前n项和，并且Sn 1 4an 2，a1 1， 设cn 求证数列 cn 是等差数列。

练习．已知数列 an ，首项a 1 =3且2a n+1=S n ·S n－1 (n≥2). an，n2

1}是等差数列,并求公差；（2）求{a n }的通项公式；例5、{an}已知等差Sn

数列 an 中，a2 a5 a9 a12 60，那么S13 （1）求证：{

A．390 B．195 C．180 D．120

例6、等差数列 an 的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )

A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

练习、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )

(A)60

场论典型例题

第一章

矢量分析

例题1、（基本矢量计算）

已知两个矢量A?i?2j，B?4i?3j，求

（1）A?B （2）A?B （3）A?B（4）A?B （5）若A和B两矢量夹角为?，求cos?。 解：

（1）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)i?(2?3)j=5i?5j （2）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)i?(2?3)j=?3i?j （3）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=(1?4)?(2?3)=4?6=10

i j k（4）A?B=(i?2j)?(4i?3j)=1 2 0 =?5k

4 3 0 （5）根据内积的定义有：A?B=ABcos?，其中A，B为矢量的模。

A?BΑB所以：cos??

其中A?B在（2）中已经得到A?B=10，

222而A=1?2?0?2225，B=4?3?0?5

因此cos??A?BΑB=

1055=

25

说明：

此题可以用于掌握矢量运算法则。 例题2、（矢性函数的极限）

设F(t)?Asint?Bcost (0?t?2?)，式中A，B为矢量，分别为A?i?j，

B?i?j。求下列极限。

（1）limF(t

矛盾观点典型例题

1．（10分）辨析题有人认为：“成功的关键在于发挥优点，而不是克服缺点。”

运用矛盾基本属性的指示对此加以辨析。

2．据中国互联网信息中心统计,截至2011年12月底,我国微博用户达到2．5亿,占网民总数的48．7%,政府部门通过认证的新浪微博覆盖了全国所有省、自治区、直辖市和特别行政区。微博在多起公共事件和公共讨论中,充分展现其及时传播信息、快捷发布言论和反馈舆情的功能。对此有网民认为:微博是健康的现代沟通渠道。

请选择一个最恰当的唯物辩证法原理,评析材料中网民的观点。(8分)

3.网购作为新生事物，受到普遍欢迎。对于消费者来说，网购既省时又省钱：对于商家来说，由于网上销售减少交易环节、省去店面租金，可以产生更大让利空间；对于整个社会来说，这种新型的购物模式可在更大的范围内、更多的层面上以更高的效率实现资源配置。同时，2011年全国受理互联网销售服务投诉30355件，同比增长43.3％，这说明随着网络交易爆发式的增长，相关的配套政策、法规和监管机制还有很多不足和漏洞；网络交易存在的安全性问题不容忽视，消费者面临的网购诚信危机亟待化解。

用矛盾主次方面的关系原理分析网购的利与弊（12分）

4. 材料一：秦始