函数与导数的综合应用题

高二（文科）导数应用题

例题：

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量??（单位：千套）与销售价格??（单位：元/套）满足的关系式??=

?????2

+4(???6)2，其中2

可售出套题21千套.

（1）求??的值； （2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格??的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点） 试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出??=10；（2）先建立利润函数模型

??(??)=(???2)[???2+4(???6)2]=10+4(???6)2(???2)=4??3?56??2+240???278(2

代入关系式??=???2+4(???6)2，得2+16=21， 2分 解得??=10. 4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量??=???2+4(???6)2， 6分 所以每日销售套题所获得的利润

10

10

??????(??)=(???2)[???2+4(???6)2]=10+4(???6)2(???2)=4??3?56??2+240???278(2

令??′(??)=0，得??=

，函数

所以

变量与函数的应用题

1.分别写出下列问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（1）50千米的路程，以v（千米/时）的速度前进，所用的时间为t（时），t与v之间的函数关系式；

（2）半径为2的圆柱体的体积为V(m3) ，高为h（米），V与h的函数关系式； （3）一栋住宅楼，底层高4m，以上每层高为3m，楼高H与层数n之间的函数关系式； （4）1吨民用自来水的价格为2.35元，所交水费y（元）与使用自来水的数量n（吨）的函数关系式．

2．某油桶中有油20升，现有一过油管和一出油管，进油管每分钟进油4升，出油管每分钟放油6升，现同时打开两管．

（1）写出油桶中剩油量Q（升）与开管时间t（分）之间的函数关系式； （2）求出自变量t的取值范围．

3．某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人），每人25元；超过20人的，超过的部分每人10元．

（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x(x?20)之间的函数关系式；

（2）利用（1）中的函数关系式计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少元？

4．一个铜球在0℃时的体积是1000m，加热后温度增加 l℃，体积增加0.05lcm，写出铜球的体积V与温度t之间的函数关系式，并

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由

导数应用题

1. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

40解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e.则日销售量为，

.∴y＝，其中35≤x≤41. ∴日利润y＝(x－30－t)·

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.

5∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e.

35<t＋31≤36 ，t＋31]上单调递增，②当4<t≤5时，函数y在[35，在[t＋31,41]上单调递减．

9t∴当x＝t＋31时，y取最大值10e－.

∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．

9t当4<t≤5时，x＝31＋t时，日利润最大值为10e－元．

2. 如图，ABCD是正方形空

函数综合与应用题专项训练（一）

试卷简介:在前期（暑期，一轮复习，压轴）讲清测量类应用题及函数与几何综合做题方法的前提下，以及对解答题过程书写分框架，分模块有所感触的基础上，训练学生对于河南中考第19题和20题常考的两种类型的过程该如何书写．建议学生打印下来按照大题做题，并在答题卡（或自己准备的演草纸）上完整书写过程，仔细阅读解题思路里的解题要点，对比答案改进书写过程。

一、单选题(共4道，每道25分)

1.如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆AB，经测量此电线杆与水平线BD所成的锐角为60°，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为30°，底部B的俯角为45°（点A，B，C，D在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，为安全起见，有关部门想把此电线杆水平放倒，若B点不动，请判断这根电线杆放倒后顶端A能否落在休闲广场内．（结果精确到0.1米，参考数据：

）

通过计算可求得AB的长为_________，顶端A_________（填“能”或“不能”）落在休闲广场)

内．(

A.7.3，能

B.7.3，不能

C.7.4，能

D.10.4，不能

答案：B

解题思路：1．解题要点

①河南中考数学第1

应用题一 求平均数问题

1，科学家对宇宙进行测算，一般认为目前的地球年龄大约45亿光年，月球的年龄与地球差不多，而太阳年龄大约为120亿年，求他们的平均年龄？

2糖果店进来4千克酥糖，价格共40元；五千克水果糖共40元；五千块奶糖共60元。将三种糖混合成什锦糖，什锦糖每千克多少元？

3，小勇参加校园十大歌手赛，有5位评委，去掉一个最高分和最低分，得到的平均分为88分，其中两个有效分分别为85分和88分，另一个有效分是多少？

4，园林工人在马路两边植树，要求两侧的数目相等。先在东侧植树，工人每天植30棵树，共植了8天，然后在马路的西侧植树，每天植树20棵。求工人平均每天植树多少棵？

5，一班同学参加数学竞赛，男生18人，平均分88分，女生12人，平均分90分，求全班同学的平均分？

6，某5个数的平均数是70，若把其中一个数改为90，则这5个数的平均数变为80，改动前这个数是多少？

7，30人参加体能测试，3名同学因故没有参加，这时全班平均做仰卧起坐35个。没有参加的同学补测成绩是20个，42个，13个，求全体同学体能测试的平均成绩？

8，同学去漂流，全班30人，10张门票600元，超过10张每张3

综合应用题

1、编写程序，求圆柱体的底面积、侧面积和体积。运行界面如图所示。

Private Sub Command1_Click() Const pi = 3.14

Command1 Dim r As Single Dim h As Single r = Val(Text2.Text) h = Val(Text1.Text) Text3.Text = pi * r ^ 2 Text4.Text = 2 * pi * r * h

Text5.Text = Val(Text3.Text) * Val(Text1.Text)

End Sub

2、用条件语句实现：从文本框（Text1）输入一个数，单击“判断”按钮（Command1）判断它能否同时被3、5、7整除，若能整除，则用消息框（Msgbox函数）显示“能同时被3、5、7整除”，否则显示“不能整除”。

Private Sub Command1_Click() a = Val(Text1.Text)

I

1.（10贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现 这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元） 满足一次函数，其图象如图所示.

(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元） 的函数表达式是 ．

x）元

(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x

(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?

2.（10包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数

y kx b，且x 65时，y 55；

x 75时，y 45．

（1）求一次函数

y kx b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

3.( 08 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为

（吨）时，所需的全部费用

，

（万元）与

满足关系式

，投入市场

后当年

1.（10贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现 这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元） 满足一次函数，其图象如图所示.

(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元） 的函数表达式是 ．

x）元

(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x

(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?

2.（10包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数

y kx b，且x 65时，y 55；

x 75时，y 45．

（1）求一次函数

y kx b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

3.( 08 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为

（吨）时，所需的全部费用

，

（万元）与

满足关系式

，投入市场

后当年

中考复习资料

1、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，

2

且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

3

2、已知：如图，在△ABC中， ACB 90，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O． （1）求证:AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12. 求

EF

的值. AC

A

3、2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，在加工了300顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷．

4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，求CD的长．

中考复习资料

5、已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；