射影几何与仿射几何

前 言

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。

1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义

定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。

定义1′ 完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所

《图形与几何》教学反思

身为一名刚到岗的教师，我们的任务之一就是课堂教学，对学到的教学新方法，我们可以记录在教学反思中，来参考自己需要的教学反思吧！以下是作者收集整理的《图形与几何》教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。

《图形与几何》教学反思1

本节课主要复习三角形的认识。由于小学生的思维具有很强的直观性,更多地要依赖表象的支撑。教材安排了认识三角形的有关特征,知道什么是三角形的底和高,认识三角形两边之和大于第三边,认识什么是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形以及等腰三角形和等边三角形,知道三角形、四边形的内角和。

因此,本节课的教学效果如何,取决于对操作活动的正确认识和有效实施。可在实际教学过程中却发现,尽管操作活动组织得很好,学生对三角形相关特征的认识也比较到位,但在解决具体问题时,还是出现了许多意想不到的错误。

究其原因,还是多数学生尚不理解各个知识点之间的联系,不能将这些知识点融合成一个完整的知识体系。因此,总复习时,又有意识地设计了一些相关练习,以沟通这些知识点之间的联系,帮助学生进一步理清知识的脉络层次;同时加强解题思路和方法的指导,提高学生解决实际问题的能力。《图形与几何》教学反思2

《数学课程标准》指出：使学生逐步形成简单的几何形体的形状、

在设计任何一个光学系统之前，都需要考虑到各种像差的分析和控制问题。像差的分析一般是采用光学全空间追迹的方法获得的，由于计算机软件的算法发展和计算机速度的进步，和各种优化算法的发展相比较，已经达到了相当成熟的地步。

然而，一般的像差描述思路在国内国外的教程和软件中是不尽相同的。虽然说这是不同的思路或者不同的角度对同一个问题的描述，但是由于国内发展的像差理论以及习惯描述方法和国外像差理论习惯描述上有诸多的不同，这给使用ZEAMX软件的光学设计初学者学习和交流造成了一些不便。

国外软件例如ZEMAX，主要使用垂轴像差的方式描述系统像差，而国内绝大部分的光学设计理论专著都是使用“几何像差”描述。两者在描述像差上并没有本质的差别，笔者个人认为“几何像差”相对“垂轴像差”而言，要更加的直观些；但是将光学系统对于像面上的像散光斑进行描述时，寥寥几种数学模型的“几何像差”并不能够完全的反映像差情况；而为了更加准确的描述像差情形，发展了高级像差以及更多的像差描述种类，其不利的一面是种类繁多的数据，使得距离系统的使用分析反而更加的复杂了。而ZEMAX软件中反映了国外对于像差的描述思想，它主要采用“垂轴像差”来进行描述，大大地减少了几何像差所造成的分析数据量繁

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第三讲二次函数与几何图形

一、二次函数与角

1、已知抛物线y=ax+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（﹣

，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

2

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

二、二次函数与直角三角形

1、如图1，抛物线y=ax+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积； ②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

2

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三、二次函数与等腰三角形

1、如图，

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所

欧式几何

932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。 一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。

欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说： 如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

其被称为不可证明。原因有二。

(一)。因为他与平行公设等价。任何与平行线有关的证明方法与他无关。

Playfair 公理。平行公设。给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。于是很多我们熟悉的命题都对他无效。

如：三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。. 若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。 三角形内角