组合体的体积怎么求

教学准备

1. 教学目标

1、通过学生自主探究，掌握用割补法计算组合体的体积。 2、根据形状和尺寸，正确选择数据计算。 3、进一步渗透转化的数学思想方法。

2. 教学重点/难点

会根据不同的方法，找准各部分的尺寸。转化数学思想的建立，将不规则的立体，转化为长方体或正方体。

3. 教学用具

教学课件

4. 标签 教学过程

（1）师：说一说你准备怎样求这两个图形的面积。 （2）学生计算并汇报。

（3）小结：求组合图形的面积时，要把组合图形分割或补成基本图形，再用基本图形的面积公式进行计算。 2、计算公式的复习

长方体和正方体体积的计算方法是什么？

板书：长方体的体积＝长×宽×高 V＝abh 长方体体积＝底面积×高 V＝Sh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 V＝a3

师：除了这种方法，我们还可以怎么求长方体体积。 3、 出示一段长方体，再出示一段正方体，求体积。

解：V＝abh 解：V＝a3

＝5×5×10 ＝5×5×5 ＝250 (立方厘米)

组合体的尺寸标注

视图只能表示组合体的形状，而组合体上各形体的真实大小及准确的相对位置，则要靠尺寸来确定。

一、尺寸标注的基本要求

1．正确 即所注尺寸必须符合国家标准《机械制图》中有关尺寸注法的规定。

2．完整 即所注尺寸必须把物体各部分的大小及相对位置完全确定下来，不能多余，但也不能遗漏。

3．清晰 是指尺寸布局要清晰恰当，既要方便于看图，又要使图面清楚。

二、尺寸的种类

1．定形尺寸

确定组合体中各个形体的形状及大小的尺寸称为定形尺寸。下面是常见基本形体的定形尺寸数量及标注方法。

2．定位尺寸与尺寸基准

确定组合体中各形体之间的相对位置的尺寸称为定位尺寸。

尺寸标注的起点称为尺寸基准。各形体的定位尺寸一般都应从相应方向的尺寸基准处开始标注。通常以物体上的对称中心线、轴线、较大的平面或较长的轮廓线作为尺寸基准。

3．总体尺寸

为了解组合体所占空间大小，一般需要标注组合体的外形尺寸，即总长、总宽和总高，称为总体尺寸。有时，各形体的尺寸就反映了组合体的总体尺寸，不必另外标注。否则，就需要对已标注的形体尺寸进行适当的调整，以免出现多余尺寸。

下表列出了零件上几种常见底板的尺寸注法，因为每块板在左（或右）方向都有回转面，所以各个板的总长尺寸都不必标注。

当组合体的端部不

类型二：1. 锥体（多面体）与柱体（旋转体）的组合

2. 锥体（旋转体）与柱体（多面体）的组合

当三视图为一锥体+一圆柱

上下或左右拼接时

或一圆柱+一棱柱

V=S第三（圆）X柱圆+3第三（线）X锥同或S第三（线）X柱同+3第三（圆）X锥同

11【典型范例三】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

1 1 2

主视图侧视图

1

俯视图

A.+ B.+ C.+2 D.+2 33331212

◇必修二※第一章※立体几何初步◇ 富县高级中学数学学案

§3.1 《简单组合体的三视图》学案 审核人签字： 高一（ ）班（ ）组（ ）号 学生签名 编写人:白治军 课 堂 探 究 学 习 目 标 知识点一：三视图的概念 ＞学会画简单几何体（柱、锥、台、球）的 画几何体三视图的原则: 三视图. 知识点二：柱、锥、球、台的三视图 几＞学会画简单组合体的三视图. 何直观图 主视图 左视图 俯视图 自 主 学 习 体 正 1．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是 ( ) 方 体 长 方 A、 B、 体 圆 柱 C、 D、 圆2．图中几何体的左视图是（ ） 锥 圆 A、 B、 台 球 C、 D、 3．面四个几何体中，主视图是四边形的几何知识点三：简单几何体的三视图 体共有（

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

§必修2.1.1.3 简单组合体的结构特征

教学目标 1．会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征，理解柱与锥、锥与台的关系． 2．在描述简单组合体的结构特征过程中培养观察能力和空间想象能力．

学习内容

知识梳理

1．简单组合体的结构特征．

定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体的两种基本形式：

??由简单几何体拼接而成；

简单组合体?

?由简单几何体截去或挖去一部分而成.?

例题讲解

题型一 多面体的组合

例1 指出图中的图形是由哪些简单几何体构成的：

巩 固 如图所示的几何体的结构特征是什么？

1

题型二 旋转体、组合体的概念

例2 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

巩 固 如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？

题型三 简单组合体的结构特征

例3 说出如图所示的几何体的结构特征：

巩 固 下图是一个螺栓和螺母的原胚型，指出其结构特征．

2

等体积法求点到平面距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式

1V?Sh求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用

3到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例子.

??的距离 例：所示的正方体ABCD?A?B?C?D? 棱长为a，求点A?到平面ABD

?垂直于平面ABD??于点H，则AH?长度为所解法(等体积法):如图所示，作AH???，易见底面ABD??的高为AH?，底面ABD???的高为AA?。对求。对于四面体AABD???的体积而言有： 四面体AABDVA?A?B?D??VA??AB?D?

11AA??S?A?B?D????AA?S?AH?S即有: ?A?B?D??AB?D?，也即: AH?33S?AB?D???为正三角形，?AB?D??600，进而可求得 由AB??B?D

《机械制图》教学案编者：胡丰春江苏省宝应工业学校高一《机械制图》教学案

第1页共4页

《机械制图》教学案

编者：胡丰春

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高度方向尺寸以为基准。（图5 －19）。

图5－19 轴承座的尺寸基准图5－20 轴承座的尺寸标注

5、尺寸布置

标注组合体视图的尺寸，除了要求完整、准确地注出三类尺寸以外，还要注意以下几点：

（1）各基本形体的定形尺寸和有关的定位尺寸，要尽量集中标注在个或个视图上，这样集中标注便于看图。

（2）尺寸应注在表达形体特征最明显的视图上，并尽量避免标注在虚线上。

（3）对称结构的尺寸，一般应标注。

（4）尺寸应尽量注在视图（外边、内部），布置在两个视图之间。

（5）圆的直径一般注在投影为非圆的视图上，圆弧的半径则应标注在投影为圆弧的视图上。

（6）多个尺寸平行标注时，应使（较小、较大）的尺寸靠近视图，（较小、较大）的尺寸依次向外分布，以免尺寸线与尺寸界线交错。

6、标注步骤：

（1）分析组合体由哪些基本形体组成。

（2）选择组合体长、宽、高每个方向的主要尺寸基准。

（3）标注各基本形体相对组合体基准的定位尺寸。

（4）标注各基本形体的定形尺寸。

（5）标注组合体的总体尺寸。

（6）检查、调整尺寸。对标注的尺寸进行检查、整理、调整，把多余的和不适合的尺寸去掉

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)

(∞→n 每份长为x ?

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d

如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=

易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX

EH OC CE ?= x x R R

l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R

x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ

x R S ?=?π2

球面面积??+-+-==R

R R R Rx Rdx ππ22=2

4R π 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ?

每片对应的半径为θsin R r =

当0→?θ时

(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB

课程课时方案（课时单元）

项目三、从复杂立体到简单立体，再到平面图形

1

任务1、手把手教你画组合体

组合体可以理解为是把零件进行必要的简化，将零件看作由若干个基本几何体组成。所以学习组合体的投影作图为零件图的绘制提供了基本的方法，即形体分析法。学习组合体的投影作图为零件图奠定重要的基础。

（一）组合体的组合形式和表面连接关系

1、组合体的组合形式

（1）叠加

（2）切割

（3）综合是上面两种基本形式的综合。如图 1所示。

（a）叠加型（b）切割型（c）综合型

图 1 组合体的组合形式

2、组合体的表面连接关系

（1）平齐或不平齐

当两基本体表面平齐时，结合处不画分界线。当两基本体表面不平齐时，结合处应画出分界线。

举例：如图 2（a）所示组合体，上、下两表面平齐，在主视图上不应画分界线。如图 2（b）所示组合体，上、下两表面不平齐，在主视图上应画出分界线。

2

对照模型讲解。

（a）表面平齐（b）表面不平齐

图2 表面平齐和不平齐的画法

（2）相切

当两基本体表面相切时，在相切处不画分界线。

举例：如图 3（a）所示组合体，它是由底板和圆柱体组成，底板的侧面与圆柱面相切，在相切处形成光滑的过渡，因此主视图和左视图中相切处不应画线，此时应注意两个切点A、B的正面投影a′、（b′）和