高中数学必修五解三角形知识点总结

解三角形

一.三角形中的基本关系： (1)sin(A?B)?sinC,

cos(A?B)??cosC,

tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC(2)sin2?cos2,cos2?sin2,tan2?cot2

(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：

abc???2R．R为???C的外接圆的半径）

sin?sin?sinC正弦定理的变形公式：

b?2Rsin?，a?2Rsin?，c?2RsinC；①化角为边：

asin??②化边为角：2Rcb，sin??2R，sinC?2R；

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④sin??sin??sinCsin?sin?sinC．

两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理：

a?b?c?2bccos?222b?a?c?2accos?222c?a?b?2abcosC．

注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：

222b?c?acos?? 2bc222a?c?bco

第1章 解三角形

§1.1正弦定理、余弦定理

重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sinA-sinC)＝(3a-b)sinB．

2

2

(1)求角C；

(2)求△ABC面积的最大值．

当堂练习：

1．在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )

(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC中，若2 ,则∠A的度数是 ( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )

(A) 15° (B) 30° (C) 45°

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,

第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形

1、正弦定理：

在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有：

abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：

①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc，sin??，sinC?； 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②sin??注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点： C 当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

a 当有两个交点则B有两个解。 b 法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： bsinA 当a

A 当bsinAb时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：

111S?

单元测评 解三角形

(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，共50分．

1．在△ABC中，a＝3，b＝1，B＝30°，则A＝( ) A．60° C．120°

B．30° D．60°或120°

ab3

解析：由sinA＝sinB知sinA＝2，又a＞b，∴A＝60°或120°. 答案：D

2．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形( ) A．无解 C．有两解

B．只有一解 D．解的个数不确定

解析：由A＝130°，而a＜b，可知无解． 答案：A

[来源:gkstk.Com]

3．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于( ) A．30° C．60°

B．60°或120° D．120°

ac3解析：由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有sinA＝sinC，故sinC＝2，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b＜c，不满足大边对大角，故C＝120°.

答案：D

4．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为( ) A．23 C．23或43

B.3 D.3或23

解三角形卷一

一．选择题

1．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为

A．2211 B．－ C． D．－ 3344

2、在△ABC中，已知a 4,b 6，B 60，则sinA的值为

A

B

C

D

3、在△ABC中，A:B:C 1:2:3，则sinA:sinB:sinC

A、1:2:3 B

、 C

、 D

、2

4、在△ABC中，sinA:sinB:sinC 4:3:2，那么cosC的值为

A、11711 B、 C、 D、 44816

5、在△ABC中，a 7,b 43,c ，则最小角为

A、 B、 C、 D、 12364

6、在△ABC中，A 60,b 16, 面积S ，则c

A、 B、75 C、55 D、49

7、在△ABC中，(a c)(a c) b(b c)，则A

A、

30 B、

60 C、120

综合练习2

一、选择题

221．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?b?2bc，sinC?3sinB，则

A? ( )

2?5???A．6 B．3 C．3 D．6

2

．

在

?ABC，内角A,B,C所对的边长分别为

a,b,c.asinBcosC?csinBcosA?1b,且a?b,则?B? 2A．2?5??? B． C． D．

36633．在△ABC中，一定成立的等式是（ ）

A. asinA?bsinB B. acosA?bcosB C. asinB?bsinA D. acosB?bcosA

4．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a?(b?c)cosC,则△ABC的形状是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

6．在△ABC中，内角A，B，

《三角函数及解直角三角形》知识点总结

Ⅰ、本章知识结构框图：

在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，

（１）锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。即ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ

斜边ｃ（２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。即ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ

斜边ｃ（３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。即ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边＝ａ

∠Ａ的邻边ｂ（４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。即ｃｏｔＡ＝∠Ａ的邻边＝ｂ

∠Ａ的对边ａ锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。

注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；

（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；

（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

（１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１；

（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；

（３）商的关系：ｔａｎα＝，

ｃｏｔα＝，

α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商

必修五解三角形章节总结与题型

章末整合提升

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.

b2 c2 a2

222222

2bc. 2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

111a b c

S(S a)(S b)(S c)23.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△==Sr(S=,r为abc

内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

CCA BA B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

必修五解三角形章节总结与题型

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已

三角函数 三角恒等变换知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与?角终边相同的角的集合：

{?|??3600k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z}

与?角终边在同一条直线上的角的集合： ；

与?角终边关于x轴对称的角的集合： ； 与?角终边关于y轴对称的角的集合： ； 与?角终边关于y?x轴对称的角的集合： ；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合： ；

终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合