高等代数与解析几何期中考试

高等代数期中考试题答案

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、全体正实数的集合R?，对加法和数量乘法a?b?ab， k?a?ak构成实数域

R上的向量空间，则该空间的零元为______，a?R?的负元为______

2、设?1,?2,?3是线性空间V的一个线性无关的向量组，则L(?1,?2,?3)的维数为______．

?10?00?3、若矩阵A?(?1,?2,?3,?4)经过行初等变换化为

?0?1??000?3??24?, 那么向量组

05??00??1,?2,?3,?4的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______

4、若把同构的子空间看成一类,则n维向量空间的子空间共分成___类

?x1????x?5、设A是数域F上的s?n矩阵且秩(A)?r，X??2?. 若方程组AX?0有非

???x???n?零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个. 二、单选题（每小题3分，共15分）

1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R上的向量空间. A．整数集； B．有理数集； C．正实数集； D．实数集 2、下列子集（ ）作成向量空间Rn的子空间。

A．{(a1,a2

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???2

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶