复变函数测验题参考解答

复变函数测验题

第四章 级 数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?1?3in(3?4i)n（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?

nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?1i(?1)ni（A） ?(1?) （B）?[?n]

nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)? （D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数

?cn?0?nz,?ncnznn?0?n?1和

cnn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则z?n?0n?1?R1

专业： 姓名： 学号：

第五章 留 数

一、选择题：

1。B 见课件第五章（1） 2．D 见课件第五章（1）

z3． B P74 定理1。5 ：z?0 是函数的分子 1?e的一级零点；z?0 是函数的分母

z4sinz的五级零点

4。 B 注：P75定义1。7 令??1?1?，分析点??0对函数?(?)?f??的情形， z?z?f(z)f(z)1为k?k5。C 注：留数定义计算 k在点0的去心邻域内洛朗级数zzz负一次幂项的系数 c?1?ak?1 6．A 注：选项（A） 需要 ?(z0)?0

?an?0?nzn

7． C 根据留数定理易得： 注意只考虑位于积分曲线内部的孤立奇点处的留数

?z?12coszcosz,0] dz?2?iRes[z(z?1)z(z?1)1122zsindz?2?iRes[zsin,0] ?zzz?11 3!8． C 根据留数定理

留数Res[zsin,0]的计算按照留数定义处理为?1z?i21z9．B 注：留数定义计算 z2e

专业： 学号： 姓名：

第二章 解析函数

一、选择题：

1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注： 函数f(z)在点z可导，f(z)在点z不一定解析；反之，f(z)在点z不解析，则函数f(z)在点z可导；函数f(z)在一

区域内处处可导等价于处处解析

3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；

B 若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不一定不可导

C 解析的条件; u,v在区域D内可微，u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程， 4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若f?(z)在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A，B，D中函数f(z)只是有定义，并为要求解析。反例：f(z)?cosx?isinx 选项C 设解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y) 则 解析函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)

?u?0 ?x?v?0 两式相减得到解析函数h(z)?2v(x,

复变函数测验题

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

（A）可去奇点 （B）本性奇点

（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数

1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点

3?2z?z35．z??是函数的( )

z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??an

第一章

一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A

13.D 14.D 15D

二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE 三、1. arctgyx?π 2.

nreiθ?2kπn?k?0,1,?,n?1?

3.(1).D开集 (2)D中任意两点可用全在D中的折线连接. 4.在D内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D. 5.对E内每一复数,z有唯一确定的复数w与之对应. 6.如果z0及f?z0?之一或者它们同时取? 7.

125πe12 8. z?z0?r,z0为圆心,r为半径

9.平面上点z0的任意邻域都有E的无穷多个点.

10.(1)彼此不交 (2)I?C?是一个有界区域 (3)E?C?是一个无界区域

(4)若简单折线p的一个点属于I?C?,另一个端点属于E?C?,则p必与C有交点. 四、1.解:z4??a4 zk?4π?2kππ?2kπ??a?c

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一） 判断题（20分）

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.(