极大线性无关向量组怎么求

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

§3.3 向量组的线性关系一.线性组合 二.线性相关与线性无关 三.小结与思考题

向量组的线性关系对于我们揭示线性方程组中方程 与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之 间的联系是极其有意义的, 我们必须熟练掌握如何判

定向量组之间的线性关系.

一.线性组合定义3.7 对于 n 维向量 1 , 2 ,

, m , 若存在一组

实数k1 , k2 ,

, km , 使得 km m , m 的线性组合,或称2

k1 1 k2 2 则称向量β 是向量组 1 , 2 ,

向量β 可由向量组 1 , 2 ,

, m 线性表示.

称k1 , k2 ,

, km 为组合系数或表示系数.

例1 设向量组 1 1 3 2 0 0 0 0 , 1 , 2 , 3 0 2 4 2 3 1 1 2

不难验证

2 1 2 或 1- 33

例2 设

判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 如果

第四章 向量

一 内容概要

1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；

3 向量组的线性关系

（1）线性组合：对于给定的向量组?1，?2，?，?s,?；如果存在一组数

k1,?,ks使得：??k1?1?k2?2???ks?s

则称向量?是向量组?1，?2，?，?s的一个线性组合，或称?可以由向量组：

?1，?2，?，?s,线性表示；

（2）线性相关、线性无关的定义

设?1，?2，?，?s,是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k1,?,ks使得：k1?1?k2?2???ks?s?0

则称向量组?1，?2，?，?s,线性相关

指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数k1,?,ks；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。

?，?s,线性无关，即若要 反之 则称向量组?1，?2，k1?1?k2?2???ks?s?0

成立，必有k1?k2???ks?0，则称向量组?1，?2，?，?s,线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系

?，?s,线性关系式k1?1?k2?2???ks?s?0具体表示出来实

第四章 向量

一 内容概要

1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；

3 向量组的线性关系

（1）线性组合：对于给定的向量组?1，?2，?，?s,?；如果存在一组数

k1,?,ks使得：??k1?1?k2?2???ks?s

则称向量?是向量组?1，?2，?，?s的一个线性组合，或称?可以由向量组：

?1，?2，?，?s,线性表示；

（2）线性相关、线性无关的定义

设?1，?2，?，?s,是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k1,?,ks使得：k1?1?k2?2???ks?s?0

则称向量组?1，?2，?，?s,线性相关

指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数k1,?,ks；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。

?，?s,线性无关，即若要 反之 则称向量组?1，?2，k1?1?k2?2???ks?s?0

成立，必有k1?k2???ks?0，则称向量组?1，?2，?，?s,线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系

?，?s,线性关系式k1?1?k2?2???ks?s?0具体表示出来实

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

第五章 向量组的线性相关性

5.1 n维向量

5.2 向量组的线性相关性

5.3 矩阵的秩与向量组的秩

5.4 向量空间

5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题

5.1 n维向量

定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记

a1 a 2 a an

或

a a1, a2 , , an

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成

a a1 , a2 , , an

T

分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.

设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量， 是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn

第五章 向量组的线性相关性

5.1 n维向量

5.2 向量组的线性相关性

5.3 矩阵的秩与向量组的秩

5.4 向量空间

5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题

5.1 n维向量

定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记

a1 a 2 a an

或

a a1, a2 , , an

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成

a a1 , a2 , , an

T

分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.

设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量， 是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn

1 向量的定义

定义

n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,

第i个数 a i 称为第i个分量.

分量全为实数的向量称为实向量. 分量全为复数的向量称为复向量.

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n维向量写成列的形式, 称为列向量, 即 a1 a2 a an

n维向量写成行的形式, 称为行向量, 即 a a 1 , a 2 , , a n T

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向量的相等 设 a T (a 1 , a 2 , , a n ), bT (b1 , b 2 , , b n ) 则 a T bT a i b i ( i 1,2, , n)零向量 分量全为0的向量称为零向量. T a O a i 0( i 1,2, , n) T 0 a O a i 中至少有一个不为 , ( i 1,2, , n) 负向量向量 a T (a 1 , a 2 , , a n )的负向量记作 a T , 且 a T ( a 1 , a 2 , , a n ).首页 上

楚雄师范学院本科论文（设计）

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摘 要： .......................................................................................................................................................... I 关键词： .......................................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................................... II Keywords： .........