因式分解竞赛题

1．分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c5

2．分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)

3．分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz

4．分解因式

（1）(x+y)(y+z)(z+x)+xyz

（2）(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3

（3）(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

（4）(y-z)5+(z-x)5+(x-y)5

5．求证：2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式

6．把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式

7．分解因式x4+x3+x2+2

8．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数，求这个质数

9．分解因式x4-x3+4x2+3x+5

10．分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4

11．求证：有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数

12．分解因式

（1）x4+x3-3x2-4x-4

（2）x4+y4+(x+y)4

（3）x3(a+1)-

周末练习

班级 姓名

2223

1.若△ABC三边分别是a,b,c,且满足(b-c)(a+b)=bc-c, 试判断△ABC的形状．

变式训练：

2.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．

3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，试判定△ABC的形状.

4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）36和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k-2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

5．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正方形共用了176根火柴棍，并且正三角形的个数比正方形的个数多12个，求搭建正三角形和正方形的个数分别是多少？

变式训练

初中数学竞赛专题培训 第一讲：因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法 ＝(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b) 7

52

25

7

2

2

2

22

22

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b)； (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

； (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

)； (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

高一数学学案 序号 001 学生

第1课 因式分解

一、基本知识点回顾

1、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 例：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ A、xy2(x?1)?x2y2?xy2

）

B、x2?9?(x?3)(x?3)

D、ax?bx?c?x(a?b)?c

C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2

2、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例：①5x2?x2y的公因式为 ；②9x3y2?12x2y2?6xy3的公因式为

3、分解因式的平方差公式： 分解因式的完全平方公式： 注意：

1、 因式分解的方法：提取公因式法；公式法

2、 提取公因式法因式分解的思路：一看系数（数字）找它们的最大公约数，二看字母找它们相同

因式分解的概念及因式分解方法（一）

教学目的：

使学生能够掌握因式分解的概念以及初步学会因式分解。

教学重点：

1. 应用定义区别因式分解与多项式相乘 2. 提公因式法的正确掌握与灵活应用

教学难点：

能够正确找出公因式

教学过程： 计算

（1）5a(b?3c)?________________

1???s?t??2? （2）?________________

（3）(5m?3n)(5m?3n)?_____________ （4）(x?3)(x?5)?___________________ 答案：（1）5ab?15ac

21s2?st?t24 （2）

（3）25m?9n （4）x?2x?15

1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分

解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意：

（1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。

（2）因式分解是一种恒等的变形

（3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。

例1. 判断下列各

因式分解技巧

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法等其他方法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

一、 提公因法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项

目录

正文

第一篇：因式分解教案

乘法公式与因式分解的运用 知识回顾

平方差公式 ：(a?b)(a?b)?a2?b2

(a?b)2?a2?2ab?b2

2 完全平方公式 ：

其他常用公式 ：(a?b)?a?2ab?b22

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

第二篇：因式分解教案

因式分解——提取公因式法

【教学目标】

1、 理解因式分解的意义，知道因式分解和整式乘法的互逆关系

2、 理解多项式“公因式”和“最大公因式”的概念，并会确定多项式的最大公因式

3、 初步掌握如何用提取公因式法来分解因式

【教学重点、难点】

1、 正确找出多项式各项的最大公因式

2、 正确找出多项式提取公因式后剩下的因式

3、 知道因式分解和整式乘法互为逆运算

【教学过程】

一、复习旧知、引入新知

1、 计算下列各式：2、你能把下列各式写成两式积的形式吗？ a(b+c)=_____________ab+ac=_

1．1多项式的因式分解

【学习目标】 课标要求

理解因式分解的概念，体会类比思想在数学学习中的应用。 目标达成

1、能理解因式分解的概念。

2、了解因式分解在解决其他数学问题中的桥梁作用。 3、在学习过程中培养学生的观察能力和探究能力。 【自主学习】 一、学习新知

21、6可以怎样分解？什么是因数？x?4等于x?2乘以哪个多项式?什么叫因式?

2、什么叫多项式的因式分解？说一说因式分解的概念应注意哪些方面?

3、因式分解与整式乘法有什么关系？

4、什么叫质数（素数）？什么叫公约数、最大公约数？怎样寻找几个整数的最大公约数？

二、我的疑问

【合作探究】

1、下列分解质因数，不正确的是（ ）

A、12?2?2?3 B、30?2?3?5 C、100?4?25 D、28?2?2?7 2、指出8与12的最大公因数（ ）

A、 12 B、8 C、2 D、4

3、下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解的有（ ）

22（1）4abc?4a?b?c （2）(a?b)(a?b)?a?b

33

（3

说 课 稿

（北师大版）八年级下册第四章第一节 一、说教材

1．教材的地位和作用

今天我说课的内容是北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》第一节课的内容。因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它在分解因数与整式乘法的基础上来讨论因式分解的概念，是学习分式的基础，且在简便运算、解方程及代数式的恒等变形中有广泛的应用。就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。

二、说教学目标

根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标：

1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系

2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力

教学重点：理解因式分解的意义，并识别分解因式与整式乘法的关系

教学难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系

三、说教学方法

就本节

初中数学竞赛辅导资料（19）

因式分解

甲内容提要 和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc

①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)

例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1

① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－1