物理微元法应用

微元法在解题中的应用

江苏省镇江第一中学 邹建平

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变

dxdv，求位移：x??vdt；速度对时间的变化率——加速度：a?，dtdtdp求速度v??adt；动量对时间的变化率——力：F?，求冲量I??p??Fdt；磁通量对时

dtd?间的变化率——感应电动势：E?；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：

dtdqdWI?，求电量q??idt；功对时间的变化率——瞬时功率：P?，求功W??Fdx；穿

dtdtd?过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：E?n。学生掌握微元思想对这些物理概

dt化率——瞬时速度：v?念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导

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微元法

（唐建伟）

（天水师范学院 数学与统计学院 数学与应用数学 甘肃天水 741001）

摘要 现在我们求：如果所求量Ф是分布在某区间【a，b】上的，或

者说它是该区间端点x的函数，即Ф=Ф（x），x∈[a,b],而且当x=b时，Ф（b）适为最终所求的值。

关键词 微元法、平面图形面积、立体体积、曲线弧长

引言 定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”

三个步骤导出所求量的积分形式。但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节将采用此法来处理。

正文

在任意小区间[x，x+Δx]包含于[a，b]，恰当选取Φ微小增量ΔΦ的近似可求量Δ'Φ（所谓ΔΦ的近似可求量是指用来近似代替ΔΦ的有确定意义而且可计算量。例如：当Φ是由函数f确定的曲边梯形的面积时，Δ'Φ是以f（x）为长、Δx为宽 矩形的面积；当Φ是已知平行截面面积A(x)的集合体的体积时，Δ'Φ是以面积为A（x）的截面为底、Δx为高的柱体的体积。这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而可以利用公式进行计算）。若能把Δ'Φ近似表示

第六章 微元法的应用 ..................................................................................................................... 2 §6.1 微元法 .................................................................................................................................. 2 §6.2 定积分在几何学中的应用 .................................................................................................. 4 §6.3 定积分在物理学中的应用 .................................................................................................. 9 §6.4 定积分在其它领域的应用 ...

三、微元法

方法简介

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

赛题精讲

例1：如图3—1所示，一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程Δt（Δt→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端C点到达C′点，由于ΔSAA′= vΔt则人影顶端的移动速度：

H?SAA??SCC?HH?hvC =lim=lim=v ?t?0?t?0?tH?h?t

可见vc与所取时间Δt的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。 例2：如图3—2所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀

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第二十讲 用消元法解应用题

一、精典例题

例：买4个篮球，6个排球，共用380元。买2个篮球，6个排球，共用280元。每个篮球和每个排球各多少元？ 运用条件简化法：

4个篮球＋6个排球＝380元 －2个篮球＋6个排球＝280元 2个篮球 ＝100元

篮球单价：100元÷2＝50元

排球单价：（380－50×4）÷6＝30元 或 （280－50×2）÷6＝30元

二、知识要点

1、消元法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。这种方法叫做消元法。

2、解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。（等量代换、加减消元法、列表法）

三、练习题

1、一班和二班共有84人，二班和三班共有87人，一班和三班共有89人，三个班各有多少人？

2、明明和婷婷用自己的压岁钱购买学习用品，明明买2支铅笔，5个笔记本，用去7元；

有限元基础

有限元法基础及应用

补充讲义

2010年2月

有限元基础

“有限元法基础及应用”补充讲义

一、弹簧单元与弹簧系统

1、 弹簧单元分析

1）单元描述

弹簧系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。

图 1-1

弹簧单元的端点i,j设置为单元节点。 基本未知量为节点位移：ui,uj

单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：fi,fj 已知弹簧的物理特性：F k

其中：k为弹簧刚度, uj ui为弹簧伸长量，F为弹簧力（拉伸为正） 2）建立弹簧单元的单元刚度方程

考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：

fi F k(uj ui) kui kujfj F k(uj ui) kui kuj

写成矩阵形式：

（1-1）

fi k fj k k ui

k uj

（1-2）

上式的矩阵符号形式为：

f kd

（1-3）

方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元的力学特性，

即节点力~节点位移之间的关系。

式（1-3）中：

有限元基础

k k k ,称为单元刚度矩阵

kk ui

d ,称为单元节点位移列阵

uj fi

f ,称为单元节点力列阵

fj

3）弹簧单元刚度方程

高等数学

第六章 一元微积分的应用第 三 节 微积分在物理学中的应用

一、变力沿直线作功二、液体的静压力

三、连续函数的平均值

高等数学

一、变力沿直线作功设变力 f ( x) : 其方向沿 x 轴正向, 大小随 x 值 的变化而变化. 变力 f ( x) 推动物体, 从点 x a 处沿 x 轴正向运动到点 点 x b 处 (a b) 所作的功为:y

x (a, b], x 0.

当 x 很小时, 可视物体在区间

f (x)O

[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值x x x b x

f ( x) 按常力 作功, 其值为

a

W f ( x) x.

于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.

高等数学

由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做y

y f (x)

的功为:积分区间: x [a, b].微分元素: d W f ( x) d x.b b

WO ab x

变力作功的几何表示

功的计算 : W d W f ( x) d x.a a

高等数学

例1

直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,为9.8 105 ( N /

换元法在中学数学解题中应用

摘 要本文主要介绍了中学数学中的换元法的概念，根据换元法在数学解题中的应用将其分别分类为整体换元法，局部换元法；常值换元法； 比值换元法；化高次为低次，化无理为有理，化分式为整式，对各种换元法的类型分别进行例题展示和总结，最后强调了换元法在换元时应注意的问题。

关键词：换元法；等量代换；关系 一.换元法及其相关概念 （1）换元法的基本概念

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称换元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、三角等问题中有广泛的应用。

（2）换元法的实质

换元法的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得

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消元法解题

当一个题目中含有两个或两个以上的未知数时，我们可以通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，设法消去其中的一个未知数量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单地题目解出来，这种解题方法就是消元法。解答时注意以下几点：

1、把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去。

2、如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。 3、解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意。

重点点拨：

例1、3袋大米和5袋面粉共重135千克；9袋大米和4袋面粉共重240千克。求每袋大米重多少千克？每袋面粉重多少千克？

例2、买4个水瓶和10个水杯要用112元钱，若买同样的3个水瓶和8个茶杯要用86元钱。水瓶和茶杯的单价各是多少元？

例3、学校第一次购买了6个排球和6个足球，共用去366元，第二次购买了同样的5个排球和4个足球，共用去269元。每个排球多少元？每个足球多少元？

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例4、购买5千克苹果和3千

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浅谈微课在高中物理教学中的应用

作者：周方

来源：《中学课程资源》2015年第02期

摘 要：本文在介绍了微课的概念及特点的基础上，分析了高中物理教学中存在的几个问题，并阐述了如何在教学中利用微课解决这些问题，从而给教学提供一定的借鉴和指导。 关键词：微课 物理教学 应用

自媒体时代，信息的传递与交流越来越便捷。微博、微信、微电影等一系列“微产品”呈现在人们面前。微课运用建构主义的方法，将大的知识块拆分成一个个具有内在逻辑和系统的微小知识组合，通过网络提供给学习者。它优化了教与学的方法，受到广大师生的高度关注。 一、微课概念

微课的雏形最早见于美国北爱荷华大学LeRoy A·McGrew教授1993年所提出的60秒课程（60-second Course）。2008年美国新墨西哥州圣胡安学院的David Penrose提出了Micro-Lecture的概念，国内将其翻译成微课。

微课是指按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点、难点