共焦点的椭圆和双曲线离心率公式

椭圆、双曲线的离心率问题

丁益祥特级工作室 张留杰

教学目标

1．复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法；

2．从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力；强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用；

3．通过对各区一模部分试题的分析，培养同学们良好的发散思维品质，增强学习解析几何的兴趣和信心，感受几何图形的美；

4．通过试题变式的训练，提高学生的解题能力，增强研究高考试题的意识，帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点． 教学重点 离心率的求法 教学难点

快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系，进而准确地求出离心率或其范围是本节的难点．

教学方法 讲授与启发相结合 教学过程

x2y2

一．回忆：（朝阳0804）已知双曲线C1:2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、

abF2，抛物线C2的顶点在原点，准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的

交点P满足PF2 F1F2，则双曲线C1的离心率为 （ ） A

B

C

．

3

D

．a24a22

x； 解：由已知可得抛物线的准线为直

1、已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）

A． B

． C

． D

．

2

、下面给出的四个点中，到直线内的点是（ ） A．

B

．

C

．

的焦点为，垂足为

的距离为，且位于

的直线与抛物线在

表示的平面区域

D

．且斜率为

3、抛物线交于点A．

，

，准线为，经过，则

轴上方的部分相

的面积是（ ） D

．

B

． C．

5、设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且

，则双曲线的离心率为（ ）

A．6、设

B

．为抛物线

C

．的焦点，

D．为该抛物线上三点，若

，则

（ ）

A．9 B． 6 C．4 D．3

7、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）

Ａ．

Ｂ． Ｃ．

Ｄ．或

8、设变量满足约束条件则目标函数Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14

的最大值为（ ）

9、已知满足则函数的最大值是______．

10、已知实数满足则

离心率的五种求法

椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率e 1，抛物线的离心率e 1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e

c

来解决。 a

x2

例1：已知双曲线2 y2 1（a 0）的一条准线与抛物线y2 6x的准线重合，则该双曲线的离心

a

率为（ ）

32 B. C. D.

2223

3a2c2 132

解：抛物线y 6x的准线是x ，即双曲线的右准线x ，则2c2 3c 2 0，

2cc2

A.

解得c 2，a

，e

c2，故选D

a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324

解：由F1 1,0 、F2 3,0 知 2c 3 1，∴c 1，又∵椭圆过原点，∴a c 1，a c 3，∴a 2，

c1

c 1，所以离心率e .故选C.

a2

A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

36

B.

九、椭圆与双曲线的离心率

一、选择题

x2y2??1的离心率是 1．【2017年浙江卷】椭圆94A. 25513 B. C. D. 3933【答案】B

x2y2??1中a2?9，b2?4，c2?a2?b2?5. 【解析】椭圆94离心率e?c5，故选B. ?a3x2y21??1的离心率为，则m?（ ） 2．已知焦点在x轴上的椭圆2m3A. 6 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C

3．【2018届南宁市高三摸底联考】已知椭圆

，弦的中点坐标是

A. B. 【答案】C

C.

D.

的一条弦所在的直线方程是

，则椭圆的离心率是（ ）

【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知

代入k=1,M(-4,1),解得，选C.

4．【2018届浙江省温州市高三9月测试】正方形的四个顶点都在椭圆上，若

椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 【答案】B

B.

C.

D.

x2y25．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0) 的左右

ab焦点分别为F1,F2， P为双曲线C上第二象限

水深火热的演练

一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。

ccc2a2?b2b2在椭圆中，e?，e????1?2 22aaaaa31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

23.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为

1 21。 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

x2y225.若椭圆2?2?1,(a?b?0)短轴端点为P满足PF，则椭圆的离心率为。 ?PFe?122ab12x2y236..已知??1(m?0.n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的的离心率为

mnmn28.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e?2。 2x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?, ?F1PF2?3?,F1、F2是椭圆的左右焦点，

ab椭圆的离心率为e?3?1

??10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF， 则椭圆的F?15,?PFF?751221离心率为

6 31x2y21

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，｜PF｜

P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

｜PD｜②e=

｜QF｜｜AO｜｜AF｜

③e=④e=

｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜

｜AO｜

⑤e=

D P Q A B F O

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。（看上去没有

c关联，实际用代入法则易发现规律）

x2 y2

题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，

a b 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A B F1 F2

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内（即利用三角形把已知条件转化为a与c的关系，用c表示a），构造

圆锥曲线的离心率专题练习

1．过双曲线M:x2?y2b2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相

交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.103 D.52 2.方程2x2?5x?2?0的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率

Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率

Ｄ．两椭圆的离心率

3.已知双曲线x2y24a2?b2?1的一条渐近线方程为y?3x，则双曲线的离心率为 （ ）

A.

5453 B.3 C.4 D.32 4. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） (A)2 (B)

22 (C) 12 (D)24

5. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A）

22 （B）2?12 （C）2?2 （D

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椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

2 1. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 椭圆2 2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则