反常积分瑕点怎么判断收敛

学号： 本 科 生 毕 业 论 文

论 文作 院 专 班 指 导题 目： 者： 系：业：级：教 师：

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

2015 年 5 月 17 日

I

NO.： Huanggang Normal University

Thesis Graduates

Topic ：

Author ：

College ： Specialty ：

Class ：

Tutor

：

May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

1

摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

2

Abstract

Improper integral with variable

第九章 反常积分

前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数f(x)在区间?a,b?上的定积分

?baf(x)dx从

不同方面予以推广.例如，将区间?a,b?推广到无限区间???,b?,?a,???,???,???，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间?a,b?的有界函数f(x)推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.

第一节 无穷积分的性质与敛散性的判别

一、无穷积分的概念 引例 求曲线y?1和直线x?1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积. 2x解: 在区间?1,???中任取一点b,那么由x轴、 曲线y?1及直线x?1与所围图形的 x2面积是可以用定积分计算的， 即

F(b)??很自然，把极限

b1dx1?1? 2bxlimb???1F(b)?lim(1?)?1

bb?????当作所求曲边梯形的面积，写作

S??11dx 2x由此可得一般的无穷积分的概念.

定义1 设函数f(x)在区间?a,???连续,任取t?a,则称极限

lim?t???taf(x)dx

为函数f(x)在区间?a,?

1

1 引言

无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.

广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.

1. 含参量的广义积分

和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积

第２４卷第２期２００８年４月

山西大同大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８

计算含参量反常积分的一些特殊方法

唐

雄，陈

莹

４６３０００）

（黄淮学院数学系，

摘

河南驻马店

要：计算含参量的反常积分时，常用的是两种方法：１）利用积分号下求积分的方法计算反常积分；２）利用积

收敛因子

一致收敛

微分方程

分号下求导方法计算反常积分．本文介绍另外几种求反常积分的方法．

关键词：反常积分

中图分类号：Ｏ１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０８７４（２００８）０２－０００８－０３

反常积分是微积分教学中的一个难点，涉及的知识点较多，近年来考研的试题中也屡屡出现这方面的试题．许多试题按照通常的方法不易求解，本文拟提供几种特殊的计算方法．

故

原积分＝ｌｉｍ

Ａ→０

!

Ａ

＋∞

ｆ（ａｘ）－ｆ（ｂｘ）

ｄｘ＝１

利用反常积分的定义和变量替换求解

这种方法的主要思想是：求一个无穷上限（或下

ｆ（０）ｌｎｂ（ａ，ｂ＞０）．

２通过建立微分方程求积分值

将含参变量的反常积分看成是关于该参量的函

限）的反常积分，可以先将其上限（或下限）固定，然后利用变量替换的的方法求解其值，最后通过作极限手段

无穷限反常积分敛散性及审敛法则

一、教学目标分析

在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析

学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析

1.本节的作用和地位

通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容

1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则

4. 条件收敛与绝对收敛

3.重点难点分析

教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时

四、教学理念

学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节

计算结果不收敛的原因

——模型、网格、边界条件、迭代方法等都有可能导致结果不收敛。 有时候要让计算结果收敛需要凭经验调整参数，但有时候收敛的计算结果不一定就是一个好的结果。

计算结果不收敛的解决方法——

<1>、一般首先是改变初值，尝试不同的初始化，事实上好像初始化很关键，对于收敛。

<2>、查找网格问题，改善网格质量。 <3>、有时边界条件的设置严重影响收敛性。

<4>、重算至发散前几步，看presure分布，看不出来的话，再算几步, 看看问题大概出在那个区域。然后对这个区域（加密或变稀）进行网格的改善。

<5>、设几个监测点，比如出流或参数变化较大的地方，若这些地方的参数变化很小，就可以认为是收敛了，尽管此时残值曲线还没有降下来。

<6>、调节松弛因子。

怎样判断计算结果是否收敛——

1、监测点处的值不再随计算步骤的增加而变化；

2、各个参数的残差随计算步数的增加而降低，最后趋于平缓； 3、要满足质量守恒（计算中不牵涉到能量）或者是质量与能量守恒

（计算中牵涉到能量）。

特别要指出的是——即使前两个判据都已经满足了，也并不表示已经得到合理的收敛解了，因为如果松弛因子设置得太紧，各参数在每步计算的变化都不是太大，也会使前两个判据得到满足。此时就要再看第三个判据了。

还需要

ANSYS非线性计算的收敛问题

收敛准则主要有力的收敛，位移的收敛，弯矩的收敛和转角的收敛。一般用力控制加载时，可以使用残余力的2-范数控制收敛；而位移控制加载时，最好用位移的范数控制收敛。收敛精度默认为 0.1%，但一般可放宽至 5%，以提高收敛速度。

使用力收敛是绝对的,而位移收敛并不一定代表你的计算真的收敛,但很多情况下使用位移更容易得到想要的结果

ANSYS中的收敛准则默认情况如下： cnvtol,lab,value,toler,norm,minref

1）在solcontrol为打开状态时，对于力和力矩来说是默认值为0.005；对于没有转角自由度的DOF，其默认值为0.05。

2）在solcontrol为关闭状态时，对于力和力矩来说，其默认值为0.001。

默认情况下solcontrol为打开状态，因此如果用户完全采用默认的话，对于力和力矩来说是默认值为0.005；对于没有转角自由度的DOF，其默认值为0.05。

在分析中追踪到沿荷载挠度曲线?反向“漂移回去”，是一个典型的难题，这是由于太大或者太小的弧长半径引起的。研究荷载-挠度曲线可以搞清楚这一点，。然后可应用nsubst和arclen命令调整弧长半径大小和范围。

加快收敛的方法